初中数学竞赛专项训练
一、选择题：
1、方程x2?(a?8)x?8a?1?0有两个整数根，试求整数a的值（ ） A. -8B. 8C. 7D. 9
2、方程(x2?x?1)x?3?1的所有整数解的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5
3、若x0是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根，则判别式??b2?4ac与平方式
M?(2ax0?b)2的大小关系是（ ）
A. △＞MB. △=MC. △＜MD. 不能确定
4、已知b2?4ac是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）
1111A. ab≥B. ab≤C. ab≥D. ab≤
88445、已知x1、x2是方程x2?(k?2)x?(k2?3k?5)?0的两个实根，则x1?x2的最大值是（ ）
225A. 19B. 18C. 5D. 以上答案都不对
96、已知x、y、z为三个非负实数，且满足3x?2y?z?5， 2x?y?3z?1，若u?3x?y?7z，则u的最大值与最小值之和为（ ）
62646874A. ?B. ?C. ?D. ?
777777777、若m、n都是正实数，方程x2?mx?2n?0和方程x2?2nx?m?0都有实数根，则m+n的最小值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
8、气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10
二、填空题
1、已知两个方程x2?ax?b?0与x2?bx?a?0有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2、若a2?11a?16?0， b2?11b?16?0(a?b)，则
ba??＿＿＿＿＿＿＿ ab3、已知关于x的方程x2?(n?1)x?2n?1?0的两根为整数，则整数n是＿＿＿＿＿
4、设x1、x2是方程x2?2(k?1)x?k2?2?0的两个实数根，且(x1?1)(x2?1)?8，则k的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5、已知a、b是方程x2?4x?m?0的两个根，b、c是方程x2?8x?5m?0的两个根，则m＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2?ax?a?2的两个实数根，则(x1?2x2)(x2?2x1)的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、解答题
1、关于x的方程kx2?(k?1)x?1?0有有理根，求整数k的值。
2、设方程20022x2?2003?2001x?1?0的较大根是r，方程2001x2?2002x?1?0的较小根是
s，求r－s的值。
3、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x2?8nx?10x?n2?35n?76?0的两根均为质数，并求出此两根。
4、已知关于x的一元二次方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值。
5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时v1、v2、v3、v4千米，且满足v1＞v2＞v3＞v4＞0，其中，v水为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？
参考答案
一、选择题
?x?a?1?x?a??11、选B。原方程变为(x?a)(x?8)?1，， ??或??x?8?1?x?8??1解得x=9或7，a＝8。
2、选C。原方程有整数解的条件有且只有以下3种：
①x?3?0而x2?x?1?0，此时x??3是方程的一个整数解；②x2?x?1?1，解之得x??2或x??1，即原方程有两个整数解；22 ③x?x?1??1而x?3为偶数。解x?x?1??1得x?0或?1。显然仅当x??1时x?3?2为偶数。故原方程此时仅有一个整数解。综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。 3、解：令d?m-? ?(2ax0?b)2?(b2?4ac) ?4a2x0?4ax0b?b2?b2?4ac ?4a(ax0?bx0?c) 因x0是ax2?bx?c?0的根，所以d?0,即??M。 应选B。4、应选B。因为方程有实数解，故b2?4ac?0。由题意有
22
?b?b2?4ac?b?b2?4ac2?b?4ac或者?b2?4ac。令u?b2?4ac2a2a则得2au2?u?b?0或2au2?u?b?0，因为u?b2?4ac是其解，所以方程
1的判别式非负，即1?8ab?0，即ab?。85、选B。由方程有实根，得△≥0，即
(k?2)2?4(k2?3k?5)?0?3k2?16k?16?0?(3k?4)(k?4)?0422??4?k??。又由x1?x2?k?2，x1?x2?k2?3k?5，得x1?x23
?(x1?x2)2?2x1x2?(k?2)2?2(k2?3k?5)??k2?10k?6?19?(k?5)2，当k??4时x1?x2取最大值18
6、选A。
22?3x?2y?z?5?x?7z?3???u?3(7z?3)?(?11z?7)?7z?3z?2 ??2x?y?3z?1?y??11z?7由x≥0，y≥0得
?7z?3?03737??z??3??2?3z?2?3??2 ?711711??11z?7?0
初三奥数竞赛专项训练及答案
