课后限时集训73
坐标系 建议用时：45分钟
π??π??1．(2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点A?3，?，B?2，?，直线l的方程
4??2??π??为ρsin?θ＋?＝3.
4??
(1)求A，B两点间的距离； (2)求点B到直线l的距离．
π??π??[解] (1)设极点为O.在△OAB中，A?3，?，B?2，?，由余弦定理，
4?2???得|AB|＝
3＋
2
2
2
?ππ?－2×3×2×cos?－?＝5. ?24?
π??(2)因为直线l的方程为ρsin?θ＋?＝3， 4??π?3π?则直线l过点?32，?，倾斜角为.
2?4?π??又B?2，?，所以点B到直线l的距离为
2??(32－2)×sin?
?3π－π?＝2.
?2??4
1?1?2．在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为?0，?，半径为，现以原点为极点，x轴的正
2?2?半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
2π
(2)设M，N是圆C上两个动点，且满足∠MON＝，求|OM|＋|ON|的最小值．
3
?1?半径为1，?1?212
[解] (1)∵圆C的圆心为?0，?，∴圆C的直角坐标方程为x＋?y－?＝，
2?2??2?4
即x＋y－y＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ＝ρsin θ，即ρ＝sin θ.
2π?2π???(2)设M(ρ1，θ)，N?ρ2，θ＋?，则|OM|＋|ON|＝ρ1＋ρ2＝sinθ＋sin?θ＋?＝
3?3???0≤θ≤π，??π13??sinθ＋cos θ＝sin?θ＋?.由题意知?2π3?22?0≤θ＋≤π，?3?
π?ππ2π3?∴≤θ＋≤，∴≤sin?θ＋?≤1，
3?3332?
2
2
2
π
解得0≤θ≤，
3
1
即|OM|＋|ON|的最小值为
3. 2
3．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
π
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
3
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在C上， π
当θ0＝时，
3
ρ0＝4sin ＝23.
π
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
3
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点，连接OQ， 在Rt△OPQ中，
π3
ρcos?θ－?＝|OP|＝2，
3
??
π??
π??π??经检验，点P?2，?在曲线ρcos?θ－?＝2上．
3?3???π??所以，l的极坐标方程为ρcos?θ－?＝2.
3??
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
?ππ?因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是?，?.
?42??ππ?所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈?，?. ?42?
4．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)＋y＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
2
2
2
2
|－k＋2|
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故kk2＋144
＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公
33共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以
|k＋2|
2＝2，故k＝0
k＋1
或k＝43.经检验，当k＝0时，l4
1与C2没有公共点；当k＝3
时，l1与C2没有公共点．
综上，所求C的方程为y＝－4
13|x|＋2.
3
2021高考数学一轮复习课后限时集训73坐标系(含解析)
