2004年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共
6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______.
x?0ex?a(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)
?2f? 0，则??u?v.
11?x2xe,??x?2?22(3) 设f(x)??，则?1f(x?1)dx?12??1,x?2?.
(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 . (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______.
(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn和 Y1,Y2,?Yn分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
2122n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(A) (?1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ]
1??f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则
x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点.
(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
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(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
[ ]
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.
[ ]
(10) 设有下列命题：
(1) 若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1?n?1??(2) 若?un收敛，则?un?1000收敛.
n?1n?1?un?1?1，则?un发散. (3) 若limn??unn?1?(4) 若?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.
n?1n?1n?1???则以上命题中正确的是
(A) (1) (2).
(B) (2) (3).
(C) (3) (4).
(D) (1) (4).
[ ]
(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是
(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
[ D ]
(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有
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(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a.
(C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ] (13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
[ ]
(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足
P{X?uα}?α,
若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α.
2[ ]
三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分8分)
1cos2x求lim(2?2).
x?0sinxx(16) (本题满分8分)
求??(x2?y2?y)d?，其中D是由圆x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所围成的
D平面区域(如图).
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2004年考研数学三真题及解析
