17.勾股定理中考考点归纳---教师版

17.勾股定理中考考点归纳---教师版

17.勾股定理知识点

知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2

＝c2

．即直角三角形中两 直角边的平方和等于斜边的平方． 要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2

-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中

，所以

。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中

，所以

。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以

。

知识点三：勾股定理的作用

1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 3．用于证明平方关系的问题；

4．利用勾股定理，作出长为的线段。 知识点四：勾股数

1.满足不定方程x2+y2=z2

的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

2.熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、 25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．

3.如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角 形。

勾股定理考查类型

类型一：勾股定理的直接用法

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

2.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知 数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

（3x）2+（4x）2＝202

化简得x2

＝16；

∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2

＝96

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

1

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则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1

在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2

＝4－1＝3 ∴AD＝ S△ABC＝

BC·AD＝

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

由（1）得：x+y＝7，

（x+y）2＝49，x2+2xy+y2

＝49 (3) (3)－(2)，得：xy＝12

∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2

） 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2 化简得：n2

＝4 ∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 类型二：勾股定理的构造应用 3.如图，已知：在

中，

，

，

. 求：BC的长.

思路点拨：由条件，想到构造含

角的直角三角形，为此作

于D，则有

，

，再由勾股定理计算出AD、DC

的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因

， ∴

（

的两个锐角互余）

∴（在中，如果一个锐角等于，

那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，

.

根据勾股定理，在中，

.

∴ . 总结升华：（1）利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直 条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

（2）有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规 则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方 法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

4.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到

达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离； （2）确定目的地C在营地A的什么方向。

思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析：（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得：

所以

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30°

2

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∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向

总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的 关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。

（二）用勾股定理求最短问题

5.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改

造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然 后进行比较，得出结论．

解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 图（3）中，在Rt△ABC中

同理 ∴图（3）中的路线长为

图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH 由∠FBH＝

及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－ ∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 3＞2.828>2.732 ∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线． 总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计 算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．

类型四：利用勾股定理作长为

的线段

6.作长为

、

、

的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和

1的直角三角形斜边长就是，类似地可作

。

作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为

； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边

、

、

、

的

长度就是

、、、。 总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯 用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 7.写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 （1）原命题：猫有四只脚．（正确） （2）原命题：对顶角相等（正确）

（3）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） （4）原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．?（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

经典题型精析

类型一：勾股定理的逆定理的基本用法

8.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2

＝（c－a）（c+a）来判断。 例如：对于选择D，

∵82

≠（40+39）×（40－39）， ∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】：A

9.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2

=25（勾股定理） ∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2

=169

∴AC2+CD2=AD2

3

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∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36 类型二：勾股定理的应用

10.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作AB⊥MN，垂足为B。

在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，

∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，

由勾股定理得： BC2＝1002-802

＝3600,∴ BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助 垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为7－5＝2(m)

又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积

。

（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，

，

，故

类型三：数学思想方法

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

11.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

4

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所以。

所以。 设

，则

。

在Rt△ECF中，，即，解得

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，

即EF的长为5cm。

根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD．

因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°．

因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

，所以EF=13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：

当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角 三角形中求解。

（二）方程的思想方法

12.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

，求、、的值。

思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。

解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则，由勾股定理，得

。

因为

，所以

，

，，。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

5

。