高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零
点教案新人教A版必修1
[目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．
[重点] 函数零点的概念以及函数零点的求法．
[难点] 对函数零点的判断方法的理解及应用.
知识点一 函数的零点
[填一填]
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
[答一答]
1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？
提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．
2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？
提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．
方程的根、函数的零点、图象
知识点二
之间的关系
1
[填一填]
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
[答一答]
3．怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？
提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．
知识点三 函数零点的存在性定理
[填一填]
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[答一答]
4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？
提示：不一定．如f(x)＝x－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2，0)内只有一个零点－1.
5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
3
f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？
提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.
2
类型一 求函数的零点
[例1] (1)求函数f(x)＝x－x－2的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx＋ax的零点．
2
2
1
[解] (1)因为f(x)＝x－x－2＝(x＋1)(x－2)． 令f(x)＝0，即(x＋1)(x－2)＝0.
解得x＝－1或x＝2.所以函数f(x)的零点为－1和2. (2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax＋ax＝ax(3x＋1)．
1
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－. 31
所以函数g(x)的零点为0和－.
3
2
2
?1?求函数f?x?的零点就是求方程f?x?＝0的解，求解时注意函数的定义域. ?2?已知x0是函数f?x?的零点，则必有f?x0?＝0.
[变式训练1] 已知函数f(x)＝x＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解：由题意知f(x)＝x＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2， 则1和2是方程x＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实根，
??1＋2＝－3?m＋1?，所以有?
?1×2＝n，?
2
2
2
??m＝－2，
解得?
?n＝2.?
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
类型二 判断函数零点所在区间
[例2] (1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( ) A．(0,2) C．(2,3)
xB．(1,2) D．(3,4)
(2)根据表格中的数据，可以判定方程e－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x e x－1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5 x＋2 [答案] (1)C (2)1 [解析] (1)令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－
1
2
3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，则函数f(x)的零点
3所在的区间为(2,3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
(2)记f(x)＝e－x－2，则该函数的零点就是方程e－x－2＝0的实根．由题表可知f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k＝1.
xx
判断函数零点所在区间的三个步骤： ?1?代.将区间端点代入函数求出函数的值. ?2?判.把所得函数值相乘，并进行符号判断.
?3?结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.
2
[变式训练2] 函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( B )
xA．(1,2) 1
C．(，1)和(3,4)
e
B．(2,3) D．(e，＋∞)
解析：∵f(1)＝－2<0, f(2)＝ln2－1<0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数， ∴在(1,2)内f(x)无零点．
2
又∵f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0.
3∴f(x)在(2,3)内有一个零点．∴选B.
类型三 函数零点个数的有关问题
命题视角1：判断函数零点的个数
[例3] 求函数f(x)＝2＋lg(x＋1)－2的零点个数． [解] 方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
xf(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．
又显然f(x)＝2＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点． 方法二：如图，
x 1
在同一坐标系中作出h(x)＝2－2和g(x)＝lg(x＋1)的图象．
由图知，g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
xxx
判断函数零点的个数的方法主要有：
?1?对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.
?2?由f?x?＝g?x?－h?x?＝0，得g?x?＝h?x?，在同一坐标系中作出y1＝g?x?和y2＝h?x?的图象，利用图象判定方程根的个数.
[变式训练3] 函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：
x
1?1?xx易知函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数?方程|log0.5x|＝x＝??的根的个数?函数
2?2?
y1＝|log0.5x|与y2＝??x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象
2
有两个交点，故选B.
?1???
1
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1
