中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）
考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
1. 若函数?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b]和?'(x)?L?1, 则方程x的解存在唯一，对 任意x0??a,b?为初值由迭代公式xn?1??(x)在[a,b]上
??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于方程
；
x??(x)在[a,b]上的解x*，且有误差估计式
2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ； 4．已知函数y?f(x)过点(xi,yi),i?0,1,2,x*?x?k?1?L,n，xi?[a,b]，设函数S(x)是f(x)的三次样条插
值函数，则S(x)满足的三个条件（1）在每个子区间?xi?1,xi?（i=1，2，…，n）上是不高于三次的多项式；（2）S（x），S’（x），S’’（x）在?a,b?上连续；（3）满足插值条件S（xi）=yi（i=1，2，…，n）； 5．随机变量X~N(3,4),(X1,X2,,X10)为样本，X是样本均值，则X~ N（3，）；
6．正交表LN(np?mq)中各字母代表的含义为 L表示正交表，N表示试验次数，n、m表示因子水平数，p、q表示试验至多可以安排因素的个数 ；
7．线性方程组Ax?b其系数矩阵满足 A=LU，且分解唯一 时，可对A进行LU解，选主元素的Gauss消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k步消元的主元akk为
n???bi??aijyi???j?i?1??(i?n?1,......,yi?2,1) aii?y'?3x?yy?0.03x?0.09yn?n?0,1,2?100?,x?[0,1]的公式为 n ? 1 n8．取步长h?0.01，用Euler法解? 。 y(0)?1?二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利
润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。 微型车 中级车 高级车 资源可用量 2 钢材（吨） 6000（吨） 40 50 人工（小时） 30 55000（小时） 2 3 4 利润 解：设微型车生产了x1辆，中级车生产了x2辆，高级车生产了x3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件：
钢材：+2x2+≤6000
人工：30x1+40x2+50x3≤55000
生产数量：x1≥1500 x2≥1200 x3≥1000 从而问题的数学模型为： Max c1x1+c2x2+c3
?1.5x1?2x2?2.5x3?6000? ?30x1?40x2?50x3?55000?x?1500x?1200x?100023?1三、（本题10分）已知f(x)的数据如表：
x f(x) 0 1 2 5 -5 3 0 6 用Newton插值法求f(x)的三次插值多项式解：
xi 0 1 2 5 6
F(xi) -5 3 0 6 N3(x)，计算f(6)的近似值，给出误差估计式。
一阶差商 8 -3 2 二阶差商 -11/2 5/4 4 三阶差商 27/20 四阶差商 23因此N3(x)?0.5?10.7x?9.55x?1.35x，而f(6)?N3(6)?12.5
R3(6)?f?x0x1x2x3x??4(x)??0.2292?6?(6?1)?(6?2)?(6?5)??27.504
四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为A1,A2,A3并假设Ai~N(?i,?2)，i?1,2,3，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下： 方差来源 平方和 组间SSA 组内SSE 总和SST 66 63 129 自由度 2 12 14 样本方差 33 F值 (1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）
(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异（取??0.05，F0.05(2,12)?3.89） 解：（1）见表中红色部分
（2）设H0：μ1=μ2=μ3=…=μi 选取统计量
F?(I?1)，由于显著性水平未给出，设α=，查表得F0.05(2,12)?3.89，因为F=>F0.05(2,12)，所
SSE(N?1)SSA以拒绝H0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。
五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解
maxZ?20x1?8x2?6x3?8x1?3x2?2x3?250? ??2x1?x2?50s..t??4x1?3x3?150???x1,x2,x3?0六、（本题10分）试确定求积公式 度尽量高。
2解：将f(x)?1,x,x分别代入式中得
? 1 ?1f(x)dx?A0f(?1)?A1f(0)?A2f(1) 中的待定系数，使其代数精
??2?A0?A1?A215??A0?A2?,A1?，因此得?0??A0?A233
??2?A?A02??3七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法
（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表L8(27)安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。
表 L8(27)两列间交互作用表
列号 (列号) 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y的作用都显著是，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对y作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。
（2）如果因子A放在第1列，因子B放第2列，则A×B放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，A×C和B×C应分别放在第5列和第6列。表头设计如下：
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