高中数学课时作业22基本不等式的应用习题课新人教A版必修5
课时作业22 基本不等式的应用习题课
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) 11
A．ab≤ B．ab≥
22C．a＋b≥2 D．a＋b≤2
2
2
2
2
?a＋b?2＝1，排除A、B；又a＋b≥?a＋b?2，所以a2＋b2≥2.
解析：由a＋b＝2，得ab≤???2?2?2???
答案：C
2．已知a>0，b>0，x＝1为f(x)＝6x－ax－b的零点，则ab的最大值为( ) A．3 B．23 C．9 D．36
解析：由题意得a＋b＝6，又a>0，b>0，a＋b≥2·ab，∴ab≤?＝b＝3时，等号成立．
答案：C
11xy3．已知x>0，y>0，lg 2＋lg 8＝lg 2，则＋的最小值是( )
x3yA．2 B．22 C．4 D．23
解析：∵lg 2＋lg 8＝lg 2，∴lg(2·8)＝lg 2，∴2
xyxyx＋3y2
22
?a＋b?2＝9，当且仅当a??2?
＝2，∴x＋3y＝1.
3yx·＝x3y113yx?11?又∵x>0，y>0，∴＋＝(x＋3y)·?＋?＝2＋＋≥2＋2x3yx3y?x3y?1??4?当且仅当x＝3y＝时取“＝”?，故选C. 2??
答案：C
4．已知直线mx－y＋n＝0过点(2,1)，其中m，n是正数，则mn的最大值为( ) 11
A. B. 2411C. D. 86
解析：依题意得2m－1＋n＝0，即2m＋n＝1，又已知m，n是正数，所以1＝2m＋n≥22mn，1
即mn≤(当且仅当2m＝n时取等号)．故选C.
8
答案：C
5．制作一个面积为1 m，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用且耗材最少)的选法是( )
A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m
2
解析：设直角三角形支架框的一条直角边长为x m，则另一条直角边长为 m，斜边长为
2
xx2＋2 m，所以周长为l＝x＋＋xx时，等号成立，
42
x2＋2≥22＋2，当且仅当x＝，即x＝2≈1.414
xx42
所以l≈2.828＋2＝4.828 m，故选C. 答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是________．
600900?900?解析：总费用4x＋×6＝4?x＋?≥4×2900＝240，当且仅当x＝，即x＝30时
x?x?
x等号成立．
答案：30
7．建造一个容积为8 m，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
4?4?解析：设水池池底的一边长为x m，则另一边长为 m，总造价为y＝480＋80×?2x＋2×?3
x?x?
?4?×2＝480＋320?x＋?≥480＋320×2
?
x?
x×＝1 760，当且仅当x＝，即x＝2时，y取最小xx44
值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．
答案：1 760
362
8．已知x>0，y>0，且＋＝2，若4x＋y>7m－m恒成立，则m的取值范围为________．
2xy36
解析：∵x>0，y>0，且＋＝2，
2xy3y24x?1??36?11?∴4x＋y＝(4x＋y)?＋?×＝·?12＋＋?≥?12＋22xy?2??2xy?22?
3y24x?
·?＝12， 2xy?
3y24x363
当且仅当＝且＋＝2，即x＝，y＝6时，等号成立，即4x＋y取得最小值12.
2xy2xy2∵4x＋y>7m－m恒成立， ∴12>7m－m， 解得m<3或m>4，
∴m的取值范围为(－∞，3)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，3)∪(4，＋∞) 三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明： 1
(1)ab＋bc＋ac≤；
3
2
2
a2b2c2
(2)＋＋≥1.
bca解析：证明：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca， 得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)＝1， 即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
1
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2b2c2
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
bcaa2b2c2
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， bcaa2b2c2
即＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2
所以＋＋≥1.
bca10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内，每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？ 解析：(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元，则
n?n－1???×4? y＝50n－98－?12×n＋
?
2
2
?
＝－2n＋40n－98 ＝－2(n－10)＋102，
2
所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
y?49?(2)年平均利润为＝－2?n＋－20?
n?
n?
≤－2?2
?
?
n·－20?＝12，
n?n49
?
49
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
[能力提升](20分钟，40分)
→→→
11．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点), 若A，B，
C三点共线，则＋的最小值是( )
ab9
A．4 B.
2C．8 D．9
→→→→→→
解析：由题得，AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线， →→∴AB∥AC，
21?21?∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝?＋?·(2a＋b)
21
ab?ab?
＝5＋
2ba＋2ab≥5＋2
2b2a×＝9，当且仅当?abab??2a＋b＝1，
2b2a??＝，
1
a＝，??3即?1
b＝??3
时，等号成
立．
答案：D
12．已知x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由(x＋y)－a(x＋y)＋1≥0恒成立，得(x＋y)＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋恒成立，只需a≤??x＋y?＋
2
22
1
x＋y??
1?min即可． x＋y??
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤?
?x＋y?2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6
??2?
或x＋y≤－2(舍去)．
设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋
111
＝t＋.设f(t)＝t＋，则当t∈[6，＋∞)时，f(t)x＋ytt113737
单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是
t666
?－∞，37?.
?6???
37??答案：?－∞，?
6??
111
13．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c<＋＋.
abc证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1， 11所以＋≥21
abab＝2c，
11
bcac1＋≥21＋≥21
bc1
＝2a， ＝2b，
ac以上三个不等式相加，得
?111?2?＋＋?≥2(a＋b＋c)， ?abc?
又因为a，b，c不全相等，所以不能取等号，
?111?所以2?＋＋?>2(a＋b＋c)，
?abc?
111即a＋b＋c<＋＋.
abc14．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A，tan B是关于x的方程x＋(1＋p)x＋p＋2＝0的两个实根，c＝4.
(1)求角C的大小．
(2)求△ABC面积的取值范围．
解析：(1)由已知tan A＋tan B＝－1－p， tan A·tan B＝p＋2，
tan A＋tan B－1－p所以tan(A＋B)＝＝＝1，
1－tan Atan B1－?p＋2?π
在△ABC中，A＋B＝，
43π
所以C＝. 4
2
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