②0<t≤2 .
︵
【解法提示】ⅰ. 当P在DE上方时,如解图④所示,圆心P在边AC上且DE与边BC相切于点F时,11
符合题意.∵C(4t,0),∴BC=4t.∵D、E分别为AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE= BC= ×4t=2t.连
2211
接PF.∵⊙P与BC相切于点F,∴PF⊥BC.∵DE∥BC,∴DE⊥PF.∴DG= DE= ×2t=t.∵PF⊥BC,
22PGEG1111
∴PF∥y轴.∴△EPG∽△EAD.∴ = = .∴PG= AD= ×1= .又∵GF=BD=1,∴PF=PG
ADED222213331
+GF= +1= .∴DP= .在Rt△PDG中,由勾股定理得DP2=DG2+GP2,即( )2=t2+( )2.解得t=
22222±2 .∵t>0,∴t=2 .∴t的取值范围是0<t≤2 .
第1题解图④
ⅱ. 当P在DE下方时,如解图⑤.⊙P与AC相切于点E为临界状态,过P作PM⊥DE于点M,DE PMEMPMt
为△ABC的中内弧,只需PM≤1即可.此时易得△EMP∽△ABC,∴ = ,即 = .得PM=2t2,
CBAB4t2故0 2 . 2 第1题解图⑤ 综上,t的取值范围为0<t≤2 . 2. 解:(1)①20; 【解法提示】如解图①所示:连接OA、OB、OP.∵OA=OB,P为AB的中点,∴OP⊥AB.∵在Rt△PBO中,由勾股定理得:PB=OB2-OP2 =62-42 =25 ,∴PA=PB=25 .∴⊙O的“幂值”=25 ×25 =20. 第2题解图① ②当弦AB的位置改变时,点P关于⊙O的“幂值”为定值. 证明:如解图②,AB为⊙O中过点P的任意一条弦,且不与OP垂直.过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP,连接AA′、BB′,OA′. 第2题解图② ∵在⊙O中,∠AA′P=∠B′BP,∠APA′=∠BPB′, ∴△APA′∽△B′PB. ∴ PAPA′ = . PB′PB ∴PA·PB=PA′·PB′=20. ∴当弦AB的位置改变时,点P关于⊙O的“幂值”为定值. (2)r2-d2; 【解法提示】如解图③所示,连接OP,过点P作AB⊥OP,交圆O与A、B两点,连接OA,OB. 第2题解图③ ∵AO=OB,PO⊥AB, ∴AP=PB. ∴点P关于⊙O的“幂值”=AP·PB=PA2. 在Rt△APO中,AP2=OA2-OP2=r2-d2. ∴点P关于⊙O的“幂值”=r2-d2. (3)1-6 ≤t≤6 +1. 【解法提示】如解图④所示:过点C作CP⊥AB交AB于点P. 第2题解图④ ∵点P关于⊙C的“幂值”为6, 若⊙O半径为r,CP=d,则由(2)可知r2-d2=6. ∴d2=3,即d=3 . 如解图⑤,以点C为圆心,3 为半径作辅助圆⊙C′, ∵点P在直线MN上, ∴当直线MN与⊙C′相交即可满足条件. 当点M在x轴正半轴时,直线MN与⊙C′相切如解图⑤, ∵M(t,0)、N(0,-t), ∴ON=OM=t, ∵OM=ON,∴∠OMN=45°. ∴在直角三角形CPM中,PM=CP=3 . 则CM=CP2+PM2 =6 , ∴OM=6 +1.∴t=6 +1. 同理当点M在x轴负半轴时,解得t=1-6 , 结合函数图象,t的取值范围为1-6 ≤t≤6 +1. 第2题解图⑤
2020年中考数学考点专题《新定义问题》
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