②0＜t≤2 .
︵
【解法提示】ⅰ. 当P在DE上方时，如解图④所示，圆心P在边AC上且DE与边BC相切于点F时，11
符合题意．∵C(4t，0)，∴BC＝4t.∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝ BC＝ ×4t＝2t.连
2211
接PF.∵⊙P与BC相切于点F，∴PF⊥BC.∵DE∥BC，∴DE⊥PF.∴DG＝ DE＝ ×2t＝t.∵PF⊥BC，
22PGEG1111
∴PF∥y轴．∴△EPG∽△EAD.∴ ＝ ＝ .∴PG＝ AD＝ ×1＝ .又∵GF＝BD＝1，∴PF＝PG
ADED222213331
＋GF＝ ＋1＝ .∴DP＝ .在Rt△PDG中，由勾股定理得DP2＝DG2＋GP2，即( )2＝t2＋( )2.解得t＝
22222±2 .∵t＞0，∴t＝2 .∴t的取值范围是0＜t≤2 .
第1题解图④
ⅱ. 当P在DE下方时，如解图⑤.⊙P与AC相切于点E为临界状态，过P作PM⊥DE于点M，DE PMEMPMt
为△ABC的中内弧，只需PM≤1即可．此时易得△EMP∽△ABC，∴ ＝ ，即 ＝ .得PM＝2t2，
CBAB4t2故0 2 . 2 第1题解图⑤ 综上，t的取值范围为0＜t≤2 . 2. 解：(1)①20； 【解法提示】如解图①所示：连接OA、OB、OP.∵OA＝OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB.∵在Rt△PBO中，由勾股定理得：PB＝OB2－OP2 ＝62－42 ＝25 ，∴PA＝PB＝25 .∴⊙O的“幂值”＝25 ×25 ＝20. 第2题解图① ②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值． 证明：如解图②，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直．过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，OA′. 第2题解图② ∵在⊙O中，∠AA′P＝∠B′BP，∠APA′＝∠BPB′， ∴△APA′∽△B′PB. ∴ PAPA′ ＝ . PB′PB ∴PA·PB＝PA′·PB′＝20. ∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值． (2)r2－d2； 【解法提示】如解图③所示，连接OP，过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，连接OA，OB. 第2题解图③ ∵AO＝OB，PO⊥AB， ∴AP＝PB. ∴点P关于⊙O的“幂值”＝AP·PB＝PA2. 在Rt△APO中，AP2＝OA2－OP2＝r2－d2. ∴点P关于⊙O的“幂值”＝r2－d2. (3)1－6 ≤t≤6 ＋1. 【解法提示】如解图④所示：过点C作CP⊥AB交AB于点P. 第2题解图④ ∵点P关于⊙C的“幂值”为6， 若⊙O半径为r，CP＝d，则由(2)可知r2－d2＝6. ∴d2＝3，即d＝3 . 如解图⑤，以点C为圆心，3 为半径作辅助圆⊙C′， ∵点P在直线MN上， ∴当直线MN与⊙C′相交即可满足条件． 当点M在x轴正半轴时，直线MN与⊙C′相切如解图⑤， ∵M(t，0)、N(0，－t)， ∴ON＝OM＝t， ∵OM＝ON，∴∠OMN＝45°. ∴在直角三角形CPM中，PM＝CP＝3 . 则CM＝CP2＋PM2 ＝6 ， ∴OM＝6 ＋1.∴t＝6 ＋1. 同理当点M在x轴负半轴时，解得t＝1－6 ， 结合函数图象，t的取值范围为1－6 ≤t≤6 ＋1. 第2题解图⑤
2024年中考数学考点专题《新定义问题》
