参考答案
类型一 新定义点与函数问题
1. 解:(1)E,F;
【解法提示】∵D(2,-2),E(-1,0),F(0,2),O(0,0),∴OD=22+22 =22 >2,OE=1<2,OF=2,∴E,F为⊙O的关联整点;
(2)如解图①,当⊙O与直线y=-x+4相切时,切点为G(2,2), 则r=OG=22+22 =22 . 当⊙O过点Q(-2,6)时, 则r=OQ=22+62 =210 ,
结合图象,当直线y=-x+4上存在⊙O的关联整点,且不超过7个时,r的取值范围为22 ≤r<210 ;
第1题解图①
(3)如解图②,当⊙C过点M(3,1)时,CM=2,ME=1, 则CE=3 ,此时点C的横坐标t=3-3 , 当⊙C′过点N(5,-1)时,
则FC′=3 ,此时点C′的横坐标t=5+3 ,
结合函数图象,圆心C的横坐标t的取值范围为3-3 ≤t≤5+3 .
第1题解图②
2. 解:(1)①E、F;
【解法提示】如解图①,根据P为⊙O的依附点,可知:当r<OP<3r(r为⊙O的半径)时,点P为⊙O的依附点.
第2题解图①
∵D(-1,0),E(0,-2),F(2.5,0), ∴OD=1,OE=2,OF=2.5, ∴1<OE<3,1<OF<3, ∴点E,F是⊙O的依附点, 故答案为:E、F; ②如解图②,
第2题解图②
当点T在第四象限,OT′=1时,作T′N⊥x轴于点N,易知N(
2 ,0),OT=3时,作TM⊥x轴于点M,232232易知M( ,0),∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围为 <t< .
222
322当点T在第二象限时,同理可得满足条件的t的取值范围为- <t<- ,
22综上所述,满足条件的t的值的范围为(2)4<m<42 或-4<m<2-22 .
【解法提示】如解图③,当点C在点M的右侧时,
232322
<t< 或- <t<- . 2222
第2题解图③
由题意M(2,0),N(0,2),
当CN=6时,OC=CN2-ON2 =42 ,此时C(42 ,0), 当CM=2时,此时C(4,0),
∴满足条件的m的值的范围为4<m<42 . 如解图④,当点C在点M的左侧时,
第2题解图④
当⊙C与直线MN相切时,易知C′(2-22 ,0), 当CM=6时,C(-4,0),
∴满足条件的m的值的范围为-4<m<2-22 ,
综上所述,满足条件的m的值的范围为:4<m<42 或-4<m<2-22 . 3. 解:(1)① 3,13 ;
【解法提示】d的最小值=OA=3,d的最大值=OB=22+32 =13 . ②P1;
【解法提示】由题图①可知,P1到线段AB的最小距离=OA=3,最大距离=P1A=335
()2+32 = ,22
则线段AB上存在点M,N,使得P1M=ON;P2到线段AB的最大距离=12+12 =2 ,∵2 <3,∴P2不符合题意;P3到线段AB的最小距离=32+32 =32 ,∵32 >13 ,∴P3不符合题意.
(2)
第3题解图①
由题意得,点D到⊙O的最近距离是4,最远距离是6,点D与点E是⊙O的一对平衡点,此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4,即OE1=3,根据OE1=3解出此时x=5 ;
同理当E2到圆O的最小距离是6,即OE2=7, 根据OE2=7,解得此时x=35 , ∴5 ≤x≤35 ; 414
(3) ≤b≤5.
3
【解法提示】点C在以O为圆心,半径为5的上半圆上运动,以C为圆心,半径为2的圆刚好与弧HK相切,此时要想弧HK上的任意两点都是⊙C的平衡点,需要满足CK≤6,如解图②,当CK=6,此时14141414a=- ,b= ,同理,当CH=6时,a= ,b= .在两者中间时,如解图③所示,此时a=0,b
3333
414
=5,∴ ≤b≤5.
3
第3题解图②
第3题解图③
4. 解:(1)A1,A3;
【解法提示】如解图①,以MN为直径的半圆交y轴于点E,以E为圆心,EM长为半径的⊙E交y轴11
于点F,∵MN是⊙G的直径,M(-1,- ),N(1,- ),∴∠MA1N=90°,MN⊥EG,EG=1,MN=2.∴EF
221
=EM=2 ,∴∠MFN= ∠MEN=45°,∵45°≤∠MPN≤90°,∴点P应落在⊙E内部,且落在⊙G外部
2(包含边界),且不与点M、N重合.∴线段MN的可视点为A1,A3.
第4题解图①
11
(2)如解图②,以(0,- )为圆心,MN为直径作⊙G,以(0, )为圆心,2 为半径作⊙E,两圆在直
221
线MN上方的部分与直线y=x+ 分别交于点E,F.
2
如解图②,过点F作FQ⊥x轴于点Q,过点E作EH⊥FQ于点H, ∵FQ⊥x轴, ∴FQ∥y轴,
∴∠EFH=∠MEG=45°. ∵∠EHF=90°,EF=2 ,
∴EH=FH=1. 1
∵E(0, ),
23
∴F(1, ).
2
只有当点B在线段EF上时,满足45°≤∠MBN≤90°,点B是线段MN的可视点. ∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1;
第4题解图②
3315(3)- <b≤- 或 ≤b≤ ;
2222
1
【解法提示】如解图③,⊙G与x轴交于点H,与y轴交于点E,连接GH,OG= ,GH=1,
2∴OH=GH2-OG2 =∴H(31 ,0),E(0, ). 22
1312-()2 = ,
22
当直线y=x+b(b≠0)与x轴交于点C,与y轴交于点D,若线段CD上存在线段MN的可视点, ①当直线y=x+b与y轴交点在y负半轴上, 将H(
333 ,0)代入y=x+b得 +b=0,解得b1=- , 222
113将N(1,- )代入y=x+b得1+b=- ,解得b2=- ,
22233
∴- <b≤- ;
22
②当直线y=x+b与y轴交点在y正半轴上, 11将 E(0, )代入得b= ,
22
当直线y=x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q,连接ET,则ET⊥TQ, ∵∠EQT=45°, ∴TQ=ET=EM=2 ,
∴EQ=ET2+TQ2 =(2)2+(2)2 =2. 15
∴OQ=OE+EQ= +2= .
22
2024年中考数学考点专题《新定义问题》
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