参考答案
类型一 新定义点与函数问题
1. 解：(1)E，F；
【解法提示】∵D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)，O(0，0)，∴OD＝22＋22 ＝22 ＞2，OE＝1＜2，OF＝2，∴E，F为⊙O的关联整点；
(2)如解图①，当⊙O与直线y＝－x＋4相切时，切点为G(2，2)， 则r＝OG＝22＋22 ＝22 . 当⊙O过点Q(－2，6)时， 则r＝OQ＝22＋62 ＝210 ，
结合图象，当直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个时，r的取值范围为22 ≤r＜210 ；
第1题解图①
(3)如解图②，当⊙C过点M(3，1)时，CM＝2，ME＝1， 则CE＝3 ，此时点C的横坐标t＝3－3 ， 当⊙C′过点N(5，－1)时，
则FC′＝3 ，此时点C′的横坐标t＝5＋3 ，
结合函数图象，圆心C的横坐标t的取值范围为3－3 ≤t≤5＋3 .
第1题解图②
2. 解：(1)①E、F；
【解法提示】如解图①，根据P为⊙O的依附点，可知：当r＜OP＜3r(r为⊙O的半径)时，点P为⊙O的依附点．
第2题解图①
∵D(－1，0)，E(0，－2)，F(2.5，0)， ∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5， ∴1＜OE＜3，1＜OF＜3， ∴点E，F是⊙O的依附点， 故答案为：E、F； ②如解图②，
第2题解图②
当点T在第四象限，OT′＝1时，作T′N⊥x轴于点N，易知N(
2 ，0)，OT＝3时，作TM⊥x轴于点M，232232易知M( ，0)，∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围为 ＜t＜ .
222
322当点T在第二象限时，同理可得满足条件的t的取值范围为－ ＜t＜－ ，
22综上所述，满足条件的t的值的范围为(2)4＜m＜42 或－4＜m＜2－22 .
【解法提示】如解图③，当点C在点M的右侧时，
232322
＜t＜ 或－ ＜t＜－ . 2222
第2题解图③
由题意M(2，0)，N(0，2)，
当CN＝6时，OC＝CN2－ON2 ＝42 ，此时C(42 ，0)， 当CM＝2时，此时C(4，0)，
∴满足条件的m的值的范围为4＜m＜42 . 如解图④，当点C在点M的左侧时，
第2题解图④
当⊙C与直线MN相切时，易知C′(2－22 ，0)， 当CM＝6时，C(－4，0)，
∴满足条件的m的值的范围为－4＜m＜2－22 ，
综上所述，满足条件的m的值的范围为：4＜m＜42 或－4＜m＜2－22 . 3. 解：(1)① 3，13 ；
【解法提示】d的最小值＝OA＝3，d的最大值＝OB＝22＋32 ＝13 . ②P1；
【解法提示】由题图①可知，P1到线段AB的最小距离＝OA＝3，最大距离＝P1A＝335
（）2＋32 ＝ ，22
则线段AB上存在点M，N，使得P1M＝ON；P2到线段AB的最大距离＝12＋12 ＝2 ，∵2 <3，∴P2不符合题意；P3到线段AB的最小距离＝32＋32 ＝32 ，∵32 >13 ，∴P3不符合题意．
(2)
第3题解图①
由题意得，点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1＝3，根据OE1＝3解出此时x＝5 ；
同理当E2到圆O的最小距离是6，即OE2＝7， 根据OE2＝7，解得此时x＝35 ， ∴5 ≤x≤35 ； 414
(3) ≤b≤5.
3
【解法提示】点C在以O为圆心，半径为5的上半圆上运动，以C为圆心，半径为2的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上的任意两点都是⊙C的平衡点，需要满足CK≤6，如解图②，当CK＝6，此时14141414a＝－ ，b＝ ，同理，当CH＝6时，a＝ ，b＝ .在两者中间时，如解图③所示，此时a＝0，b
3333
414
＝5，∴ ≤b≤5.
3
第3题解图②
第3题解图③
4. 解：(1)A1，A3；
【解法提示】如解图①，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴11
于点F，∵MN是⊙G的直径，M(－1，－ )，N(1，－ )，∴∠MA1N＝90°，MN⊥EG，EG＝1，MN＝2.∴EF
221
＝EM＝2 ，∴∠MFN＝ ∠MEN＝45°，∵45°≤∠MPN≤90°，∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部
2(包含边界)，且不与点M、N重合．∴线段MN的可视点为A1，A3.
第4题解图①
11
(2)如解图②，以(0，－ )为圆心，MN为直径作⊙G，以(0， )为圆心，2 为半径作⊙E，两圆在直
221
线MN上方的部分与直线y＝x＋ 分别交于点E，F.
2
如解图②，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点E作EH⊥FQ于点H， ∵FQ⊥x轴， ∴FQ∥y轴，
∴∠EFH＝∠MEG＝45°. ∵∠EHF＝90°，EF＝2 ，
∴EH＝FH＝1. 1
∵E(0， )，
23
∴F(1， ).
2
只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点． ∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1；
第4题解图②
3315(3)－ ＜b≤－ 或 ≤b≤ ；
2222
1
【解法提示】如解图③，⊙G与x轴交于点H，与y轴交于点E，连接GH，OG＝ ，GH＝1，
2∴OH＝GH2－OG2 ＝∴H(31 ，0)，E(0， ). 22
1312－（）2 ＝ ，
22
当直线y＝x＋b(b≠0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点， ①当直线y＝x＋b与y轴交点在y负半轴上， 将H(
333 ，0)代入y＝x＋b得 ＋b＝0，解得b1＝－ ， 222
113将N(1，－ )代入y＝x＋b得1＋b＝－ ，解得b2＝－ ，
22233
∴－ ＜b≤－ ；
22
②当直线y＝x＋b与y轴交点在y正半轴上， 11将 E(0， )代入得b＝ ，
22
当直线y＝x＋b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ， ∵∠EQT＝45°， ∴TQ＝ET＝EM＝2 ，
∴EQ＝ET2＋TQ2 ＝（2）2＋（2）2 ＝2. 15
∴OQ＝OE＋EQ＝ ＋2＝ .
22
2020年中考数学考点专题《新定义问题》
