高考数学大一轮复习第三章导数及其应用1第1讲变化率与导
数、导数的计算练习理(含解析)
[基础题组练]
1?π?1.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′??=( ) x?2?3
A.-2
π3C.-
π
1B.-2
π1D.-
π
111?π?解析:选C.因为f′(x)=-2cos x+(-sin x),所以f(π)+f′??=-+xxπ?2?23
·(-1)=-. ππ
2.(2024·福州模拟)曲线f(x)=x+ln x在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.2 1
C. 2
3B. 21D. 4
1
解析:选D.f′(x)=1+,则f′(1)=2,故曲线f(x)=x+ln x在点(1,1)处的切线
x方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),
?1,0?,则切线与坐标轴围成的三角形的面积为1×1×1=1,故选D. ?2?224??
1
3.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
42A.3 C.1
B.2 1
D. 2
x2
x31
解析:选A.因为y′=-,令y′=,解得x=3,即切点的横坐标为3.
2x2
4.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
解析:选D.由y=f′(x)的图象知y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故排除A、C.又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故排除B.
523
5.函数g(x)=x+x+3ln x+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为
2( )
7A. 23C. 2
57
解析:选B.当x=1时,g(1)=1++b=+b,
2232
又g′(x)=3x+5x+,
5B. 21D. 2
x所以切线斜率k=g′(1)=3+5+3=11, 从而切线方程为y=11x-5,
7?7?由于点?1,+b?在切线上,所以+b=11-5, 2?2?5
解得b=.故选B.
2
6.已知f(x)=ax+bcos x+7x-2.若f′(2 018)=6,则f′(-2 018)=________. 解析:因为f′(x)=4ax-bsin x+7, 所以f′(-x)=4a(-x)-bsin(-x)+7 =-4ax+bsin x+7.
3
33
4
所以f′(x)+f′(-x)=14. 又f′(2 018)=6,
所以f′(-2 018)=14-6=8. 答案:8
7.(2024·广州市调研测试)若过点A(a,0)作曲线C:y=xe的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是________.
解析:设切点坐标为(x0,x0ex0),y′=(x+1)e,y′|x=x0=(x0+1)ex0,所以切线方程为y-x0ex0=(x0+1)ex0(x-x0),将点A(a,0)代入可得-x0ex0=(x0+1)ex0(a-x0),化简,得x0-ax0-a=0,过点A(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条,即方程x0-ax0-a=0有两个不同的解,则有Δ=a+4a>0,解得a>0或a<-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)
8.(2024·南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且
2
2
2
xxf(ln x)=x+ln x,则f′(1)=________.
解析:因为f(ln x)=x+ln x,所以f(x)=x+e, 所以f′(x)=1+e,所以f′(1)=1+e=1+e. 答案:1+e
9.已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围. 解:f′(x)=3x+2(1-a)x-a(a+2).
??f(0)=b=0,
(1)由题意得?
?f′(0)=-a(a+2)=-3,?
2
3
2
xx1
解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程f′(x)=3x+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)+12a(a+2)>0, 即4a+4a+1>0, 1
所以a≠-. 2
1??1??所以a的取值范围为?-∞,-?∪?-,+∞?. 2??2??10.已知函数f(x)=x+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
3
2
2
2