第七章 圆
第一节 圆的有关概念及性质
,青海五年中考命题规律)
年份 题型 题号 考查点 考查内容 分值 总分 利用垂径定2017 选择 16 垂径定理 理求两条平行弦间的距3 3 离 利用直径所对的圆周角是90°和同2016 填空 10 圆周角定理 弧或等弧所2 2 对的圆周角相等求角的度数 先利用圆周角与圆心角之间的关系2015 填空 9 圆周角定理 求圆周角，2 2 再结合等腰三角形性质求角的度数 利用切线性2014 填空 8 圆周角定理 质和圆周角定理求角的2 2 度数 利用圆周角2013 填空 9 圆的基本性定理和垂径质 定理求角的2 2 度数 纵观青海省近五年中考，圆的有关性质属于中考重点考查内容，题型以填空为主，也有解答题出现，命题规律 难度属于基 础题略偏上．预计2024年青海省中考圆周角定理、垂径定理与圆的切线可能综合在一起考查. 1
,青海五年中考真题)
圆的有关性质
1．(2017青海中考)已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为( D )
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
2．(2016青海中考)如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝__40°__．
,(第2题图)) ,(第3题图))
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3．(2015青海中考)如图，点O为BC所在圆的圆心，∠BOC＝112°，点D在BA的延长线上，AD＝AC，则∠D＝__28°__．
4．(2014青海中考)如图所示，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB＝65°，则∠P＝__50°__．
,(第4题图)) ,(第5题图))
5．(2013青海中考)如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝__26°__．
6．(2017西宁中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝__60°__．
(第6题图)
(第8题图)
7．(2016西宁中考)⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC度数为__15°或75°__．
8．(2013西宁中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，且AE∶BE＝1∶3，则AB＝__43__．
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,中考考点清单)
圆的有关概念
圆的 定义 定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成 的图形叫做圆 定义2：圆是到定点的距离①__等于__定长的所有点组成的图形 弦 连接圆上任意两点的②__线段__叫做弦 直径 直径是经过圆心的③__弦__，是圆内最④__长__的弦 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤__优弧 弧、半圆、劣弧__之分，能够完全重合的弧叫做⑥__等弧__ 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆 圆的对称性
圆的 对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦__圆心__的直线 圆是中心对称图形，对称中心为⑧__圆心__ 垂径定理 定 垂直于弦的直径⑨__平分__弦，并且平分弦理 所对的两条⑩__弧__ 推 平分弦(不是直径)的直径?__垂直于__弦，论 并且?__平分__弦所对的两条弧 续表
圆心角、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中弧、弦之 有一组量?__相等__，那么它们所对应的其余各组量也间的关系 分别相等 圆周角
圆周角 的定义 顶点在圆上，并且?__两边__都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的?__一半__ 推论1 同弧或等弧所对的圆周角?__相等__ 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是?__直角__；90°的圆周角所对的弦是?__直径__ 推论3 圆内接四边形的对角?__互补__ 【方法总结】
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1．在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
,中考重难点突破)
垂径定理及应用
【例1】(凉山中考)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB＝8 cm，且AB⊥CD，垂足为M，求AC的长．
【解析】先根据题意，画出图形，因为点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
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【答案】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4 cm，OD＝OC
22＝5 cm，当C点位置如图①所示时，OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB，OM＝OA－AM＝5－4＝3 cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝AM＋CM＝4＋8＝45 cm，当点C位置如图②所示时，同理可得OM＝3 cm，OC＝5 cm，MC＝5－3＝2 cm，在Rt△AMC中，AC＝AM＋MC＝4＋2＝25 cm.
1．(陕西中考)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( B )
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A．33 B．43 C．53 D．63
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．(2017乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直
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的，根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )
A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m
与圆有关的角的计算
【例2】(1)(黄冈中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝________．
,[第(1)题图]) ,[第(2)题图])
(2)(咸宁中考)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为________．
【解析】求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角及弧之间的关系，遇直径时，一般联想直径所对圆周角为直角．
【答案】(1)35°；(2)122°
3．(2017云南中考)如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于D点，若∠BFC＝20°，则∠DBC＝( A )
A．30° B．29° C．28° D．20°
4．(杭州中考)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( D )
A．DE＝EB B.2DE＝EB C.3DE＝DO D．DE＝OB
,(第4题图)) ,(第5题图))
5．(2017自贡中考)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于__25°__．
6．(2017自贡中考)如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝43
，则AD＝__4__． 3
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,(第6题图)) ,(第7题图))
7．(黔东南中考)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为__2__．
8．(河南中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME；
(2)①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝________；
②连接OD，OE，当∠A的度数为________时，四边形ODME是菱形．
解：(1)连接AE，BD，DE.
在Rt△ABC中，点M是AC的中点， ∴MA＝MB， ∴∠MAB＝∠MBA.
∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180°. 又∠ADE＋∠MDE＝180°， ∴∠MDE＝∠MBA.
同理可证：∠MED＝∠MAB，∴∠MDE＝∠MED， ∴MD＝ME； (2)①2；②60°
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中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第7章 圆 第1节 圆的有关概念及性质（精练）试题
