专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型
一、选择题
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( ) A．14 B．21 C．28 D．35 答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4．∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28．故选C．
2．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1．若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( ) A．9 B．10 C．11 D．12 答案 C
解析 am＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝a3·a3·a3＝a3＝a1·q．因为a1＝1，|q|≠1，所以am＝a1·q＝a1q，所以m＝11．故选C．
3．在递减等差数列{an}中，若a1＋a5＝0，则Sn取最大值时n等于( ) A．2 B．3 C．4 D．2或3 答案 D
解析 ∵a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0．
∵d<0，∴{an}的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故Sn取最大值时n等于2或3．故选D．
4．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a10＋a11＋…＋a100，则k＝( ) A．496 B．469 C．4914 D．4915 答案 D
解析 因为数列{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d，因为ak＝a10＋a11＋…＋a100，所以ak＝100a1＋
100×999×8
d－9a1＋d＝4914d，又ak＝(k－1)d，所以(k－1)d＝22
5
10
10
2
2
5
5
10
4914d，所以k＝4915．故选D．
5．已知数列{an}的通项为an＝logn＋1(n＋2)(n∈N)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优数”，则在(0，2024]内的所有“优数”的和为( )
A．1024 B．2012 C．2026 D．2036 答案 C
解析 设a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·logn＋1(n＋2)＝log2(n＋2)＝
*
k，k∈Z，则0 2?1－2?11 －2)＋…＋(2－2)＝－18＝2－22＝2026．故选C． 1－2 10 2 9 6．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1 开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1，3，5，7，…．当n＝65时，剩余的一个数为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 答案 B 解析 将1，2，3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1，3，5，7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16，8，4，2，1，最后剩余2．故选B． 7．已知数列{an}中，an＋1＝3Sn，则下列关于{an}的说法正确的是( ) A．一定为等差数列 B．一定为等比数列 C．可能为等差数列，但不会为等比数列 D．可能为等比数列，但不会为等差数列 答案 C 解析 若数列{an}中所有的项都为0，则满足an＋1＝3Sn，所以数列{an}可能为等差数列，故B，D不正确；由an＋1＝3Sn，得an＋2＝3Sn＋1，则an＋2－an＋1＝3(Sn＋1－Sn)＝3an＋1，所以an＋2＝4an＋1，当a1≠0时，易知an＋1≠0，所以an＋2a2 ＝4，由an＋1＝3Sn，得a2＝3a1，即＝3，此时an＋1a1 数列{an}既不是等比数列又不是等差数列，故A不正确，C正确．故选C． 8．(2024·江西南昌测试二)已知各项均为正数的递增数列{an }的前n项和为Sn满足2Sn＝an＋1，bn＝ anan＋t，若b1，b2，bm成等差数列，则的最大值为( ) tm2335A． B． C． D． 7584答案 D 解析 由题2Sn＝an＋1，则4Sn＝(an＋1)4Sn＋1＝(an＋1＋1)，作差得an＋1－an＝2，2S1 2m－16 ＝a1＋1?a1＝1，an＝2n－1，由b1，b2，bm成等差数列，可得bm＝2b2－b1，＝－ 2m－1＋t3＋t14t5，分离m化简得m＝3＋，故(t，m)＝(2，7)，(3，5)，(5，4)，max＝．故选D． 1＋tt－1m4 9．(2024·河南信阳高级中学模拟)给定函数y＝f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1 2， 2 答案 A 解析 由题对于给定函数y＝f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1 10．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623～1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列前16项和为( ) A．120 B．163 C．164 D．165 答案 C 解析 考查每行第二个数组成的数列：2，3，4，5，…，归纳推理可知其通项公式为 bn＝n＋1，其前8项和S8＝8×2＋ 8×7 ×1＝44；每行第三个数组成的数列：1，3，6，10，…，2 归纳推理可知其通项公式为cn＝ n?n＋1? 2 ＝ 121(n＋n)，其前8项和T8＝22 8×?8＋1?×?2×8＋1??8＋1?×8 ×＋＝120，据此可得题中数列前16项和为120＋44＝164．故 62选C． 11．(2024·河南林州调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17>0，S18<0，则， S1 a1 S2S15 ，…，中最大的项为( ) a2a15 A． B． C． D．答案 C 解析 ∵等差数列{an}中，S17>0，且S18<0，即S17＝17a9>0，S18＝9(a9＋a10)<0，∴a9＋ S7 a7S8a8S9a9S10 a10 a10<0，a9>0，∴a10<0，∴等差数列{an}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11，… 为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，则>0，>0，…，>0，<0，<0，…， S1a1S2a2S9a9S10a10S11a11 S15S9 <0，又∵S1 12．已知数列{an}为等比数列，a1∈(0，1)，a2∈(1，2)，a3∈(2，3)，则a4的取值范围是( ) A．(3，4) B．(22，4) C．(2，9) D．(22，9) 答案 D 解析 设等比数列{an}的公比为q， 0 由已知得?1 ??2 a1q1a1q22a1q2a1q22 由①②得q＝>＝1；由①③得q＝>＝2；由②③得q＝>1且q＝<3，故2 a11a11a1qa1q 二、填空题 13．(2024·湖南张家界模拟)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列且a1＝2，公积为10，则a2024＝________． 3 2 答案 5 解析 已知数列{an}是等积数列且a1＝2，公积为10，可得a2＝5，a3＝2，a4＝5，a5＝2，…，由此奇数项为2，偶数项为5，所以a2024＝5． 14．设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N，都有向量PnPn＋1＝(1，2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 答案 n 解析 ∵Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)，∴PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1，2)，∴an＋1－an＝2，∴{an}是公差d为2的等差数列．又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，∴Sn＝n＋ 2 * n?n－1? 2 ×2＝n． 2 15．(2024·湖北荆州中学模拟一)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an }的前n项和，若a2024＝M，则S2024＝________．(用M表示) 答案 M－1 解析 ∵数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和， ∴an＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－2＝…＝ an＋an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋1，则S2024＝a2024－1＝M－1． 16．(2024·衡水金卷压轴卷二)已知曲线C1的方程为(x－1)＋(y－2)＝1，过平面上π 一点P1作C1的两条切线，切点分别为A1，B1，且满足∠A1P1B1＝．记P1的轨迹为C2，过平 3π 面上一点P2作C2的两条切线，切点分别为A2，B2，且满足∠A2P2B2＝．记P2的轨迹为C3， 3按上述规律一直进行下去，…，记an＝|AnAn＋1|min，且Sn为数列{an}的前n项和，则满足Sn－5n>0的最小正整数n为________． 答案 5 解析 由题设可知轨迹C1，C2，C3，…，Cn分别是半径为1，2，4，8，16，32，…，2的圆．因为an＝|AnAn＋1|min，所以a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，…，an＝2 nn－1 n2 2 ，所以Sn＝a1＋ a2＋a3＋…＋an＝1＋2＋4＋…＋2 1，故最小的正整数n为5． 三、解答题 n－1 2－1nnn＝＝2－1．由Sn－5n>0，得2－1－5n>0?2>5n＋2－1 1112 17．(2024·山西考前适应训练)已知等比数列{an}中，an>0，a1＝，－＝，n64anan＋1an＋2
2024高考数学刷题首选卷专题突破练(4)数列中的典型题型与创新题型（文）（含解析）
