专题18 矩形、菱
形、正方形
1．2024·淮安如图Z18－1，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )
图Z18－1
A．20 B．24 C．40 D．48
2．2017·衢州如图Z18－2，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长为( )
图Z18－2
35A. B. 5375C. D. 34
3．2024·台州下列命题正确的是( ) A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．2017·黔东南州如图Z18－3，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为( )
图Z18－3
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
5．2024·江西如图Z18－4，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为________．
图Z18－4
6．2017·邵阳如图Z18－5所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
图Z18－5
7．2017·盐城如图Z18－6，在矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
图Z18－6
详解详析
1．A 2.B 3.C 4.A 5.3 2
6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC. ∵∠OBC＝∠OCB，∴∠DAO＝∠ADO， ∴OB＝OC，OA＝OD，
∴OB＋OD＝OA＋OC，即AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． (2)AB＝AD(答案不唯一)．
7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，BC∥AD，∠ABD＝∠CDB. ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， 11
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB，
22
∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.
又∵BC∥AD，∴四边形BEDF为平行四边形． (2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形． 理由如下：∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°， ∴∠ABD＝60°，∠DBE＝30°. ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE＝∠ADB，∴DE＝BE， ∴平行四边形BEDF是菱形．
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