复合函数的零点问题研究
【知识回顾】
函数与方程这个知识点在高考中的出镜率几乎是100%，我们应该非常重视这个知识点的系统梳理，其中有一个常见考点是复合函数的零点问题.复合函数的零点问题是，类似y=f[g(x)]函数的零点问题.解题的核心词两个，换图、换元.换句话说，就是逐层解方程，先解f(t)=0的根，再解t=g(x)的根，用数形结合去观察根的个数以及范围，显得更直观一些. 【例题分析】
例题 (江苏省无锡市普通高中2024届高三第一学期期中调研考试14) 已知函数
2?1????x?2x?1，x≤2?1??a恰好有6个不同的解，则实数a的 则方程f?x?f(x)??4x????log2(x?2)，x?2取值范围为 . 解法一 如图，令t?x?
1?1以及y?f(x)的函数图象，根据a的值进行讨论 4xy 2 1 t 2 -0.5 O 0.5 x O 1 2 3 x (1)若a?0，f(t)?a由图象可知，此时唯一解t?0，而t?x?1?1只有两个解，舍去； 4x11?1,t2?x??1,各有4x4x(2)若a?0，f(t)?a由图象可知，此时解t1?0,t2?3，而t1?x?两个解，一共4个解，舍去；
(3)若0?a?1，f(t)?a由图象可知，此时解t1?0,2?t2?3?t3，而
t1?x?111?1,t2?x??1,t3?x+?1各有两个解，一共6个解，符合条件； 4x4x4x1?1, 4x(4)若a?1，f(t)?a由图象可知，此时解t1?0,t2?2,2?t3?3?t4，而t1?x?t2?x?条件；
111?1,各有1个解；t3?x??1, t4?x??1,各有两个解，一共6个解，符合4x4x4x
(5)若1?a?2，f(t)?a由图象可知，此时解0?t1?t2?2?t3?3?t4，而t1?x?1?1, 4xt2?x?111?1,无解；t3?x??1, t4?x??1,各有两个解，一共4个解，舍去； 4x4x4x1?1,无解； 4x(6)若a?2，f(t)?a由图象可知，此时解t1?1,2?t2?3?t3，而t1?x?t2?x?11?1, t3?x??1,各有两个解，一共4个解，舍去； 4x4x11?1,t2?x??1,各4x4x(7)若a?2，f(t)?a由图象可知，此时解2?t1?3?t2，而t1?x?有2个解；一共4个解，舍去；
解法二 （熟悉了解法一的思维过程以后，对于接下来的解题过程的理解会顺利很多，多以建议大家先熟悉上面的解法一，再来看解法二） y t 2 1 2
x O 1 2 3
-0.5
x O 0.5
1（0?t?2），1（t?0或t=2），2（t?0或t?2）； ?1的根的可能个数为0
4x而f(x)?a的根的可能个数为1(a<0)，2(a=0或a>2),3(0 因为f(t)=a，要有6个不同的根，显然f(x)?a的根的个数不小于3个；若f(x)?a有3个由图可知，t?x?根，每个根的范围都只能是t?0或t?2，所以0?a?1符合条件；若f(x)?a有4个根，同理解法一中的情况(4)和(5)，可知a=1符合条件，综上，0 解法一，虽然讨论的情况数多达7种，但是一一讨论之后，就会对复合函数的零点个数判断有非常深刻的认识，可能达成解法二迅速缩小变量a的讨论范围.下面把江苏各地20届的模拟试题按照从易到难(小编自己的划分标准，具体到各位因人而异，请多多谅解啊)给出，大家练习后可以点击后面的空白处查看答案. 【巩固练习】 1.（★★★江苏省南通市2024届高三上学期第一次调研抽测9月数学试题13） 函数 f(x)?x2?3x?k有两个零点，则k的取值范围是_______. 2. （★★★江苏省苏州市部分学校2024届高三第一学期月考模拟试卷14）设函数??1,x?12f(x)?? ,若函数g(x)?f(x)?bf(x)?c有三个零点x1,x2,x3，则 ??logax?1?1,x?1x1x2+x2x3+x1x3等于 ． 3. （★★★江苏省淮安市2024届高三上学期期中联考数学试卷（文科）14）已知函数e的取值范围是 . 4. （★★★江苏省镇江市镇江一中2024届高三期初考试数学试卷13）若关于x的方程f(x)?xx，若关于x的方程f2(x)?mf(x)?m?1?0恰有4个不相等的实数根，则实数m2(x?1)2?xx?1+4ax2?0恰有4个不同的正根，则实数a的取值范围是 ． 5. （★★★江苏省扬州中学2024届高三上学期10月阶段检测数学试卷13）函数??lgx,x?0，若函数y?2f(x)?a?1存在5个零点，则整数a的值为 . f(x)??x??2,x≤06. （★★★江苏省盐城中学2024届高三上学期第二次阶段性质量12月检测数学12）已?3x?x3,x?01?知函数f(x)??|x|，若函数y?[f(x)?a][(f(x)??a]有5个零点，则实数a的 2??2,x≤0取值范围是 . 7. （★★★★镇江2024届高三上学期第一次八校联考数学试卷14）若关于x的方程2ax?2?ae?x?(x?2)2ex有且仅有3个不同实数解，则实数a的取值范围是 ． 8. （★★★★江苏省南京师范大学附属中学2024届高三12月一模前测数学试卷14）已?2x?1?1,x?0?知函数f(x)?x3?3x2?1，g(x)??12 .若函数y?g[f(x)]?a有6个零点 ?x?x,x≤0??4（互不相同），则实数a的取值范围为________． 9. （★★★★南通、泰州2024届高三第一次调研测试数学试卷14）已知函数 ?x?1?1,x≥0?22f(x)??x ，若关于x的方程f(x)?2a?f(x)?1?a?0有五个不相等的 ,x?0??x?1实数根，则实数a的取值范围是 .
江苏省南通市2024届高三名校数学二轮内部复习资料微专题：复合函数的零点问题研究
