§14.导数知识要点
1.导数(导函数的简称)的定义：设X。是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量X在X。处 有增量 x，
则函数值y也引起相应的增量 y f (x0 x) f(x0)；比值 丄 止__x) f(xo)
称为函数y 仁刈在点％。到X。 x之间的平均变化率；如果极限 x X lim - lim f(X0 -------------- X)_f (Xo)
存在，则称函数y f (x)在点x。处可导，并把这个极限叫做
x 0 x x 0 x y f (x)在 x0处的导数，记作 f (x0)或 y |x
XQ
，即 f (x。)= lim y lim
f-(X
° --- X)_.
X 。 x x 。
x
注：① X是增量，我们也称为
改变量”，因为X可正，可负，但不为零.
②以知函数y f(x)定义域为A， y f '(x)的定义域为B，则A与B关系为A B. 2.函数y
f (X)在点Xo处连续与点Xo处可导的关系：
⑴函数y 可以证f (x)在点 Xo处连续是y f (x)在点Xo处可导的必要不充分条件 y f 明，如果 事实y f(x)在点Xo处可导，那么 (x)点x0处连续. 上，令x x
o
X，则X
Xo相当于 o.
是 lim f (x)
lim f(x。
x) lim [ f(x
) f(x。) f(x。)] X X。
X 。
X。X 。
f(x。) f(Xo X) f(Xo) 叫
f(X。
X)X f(x)点Xo处
f(x。)] 0。 x
lim lim f(Xo)
f(X。)o f(x。)x o x o
⑵如果y 连续,
那么y
f(x)在点Xo处可导，是不成立的.
例: f(x) |x|在点Xo 。处连续,
但在点Xo 。处不可导，因为y ，当
X ＞X X
。时,
—X 1 ；当 X V。时，一 X 1，故lim ~不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数X 。 X ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数
f(x。).
3.导数的几何意义：
函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线
y f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，
也就是说，曲线y f(x)在点P (xo, f(x))处的切线的斜率是f'(x。),切线方程为
y yo f (x)(x xo).
4.求导数的四则运算法则:
(u v)
u v
1 1 1 1 1 1
y fi(x)
f2(X) ... fn(x) y
fl (x)
f2(X) ... fp (x)
(uv)' vu v u (cv) c v cv cv ( c 为常数)
1
u v
1 1 vu v u
v
2
(v 0)
注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导， 则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导， 积、商不一定不可导.
例如：设 f (x) 2sinx ， g(x) cosx
x f(x) g(x)
sinx cosx在x 0处均可导. 5.复合函数的求导法则:
fx ( (x)) f '(u) '(x)或 y'x y'u u'x
则它们的和、差、
，贝U f (x), g(x)在x 0处均不可导，但它们和 x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法： 设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f '(x) >0,则y f(x)为 增函数；如果f'(x) v 0,贝U y f (x)为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数y f(x)在区间I内恒有f '(x) =0，则y f(x)为常数. 注：①f (x) 0是f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如 都有f (x) 要条件.
②一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零， 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的
7. 极值的判别方法：(极值是在X。附近所有的点，都有f(x) v f(x°),则f(x°)是函数f(x) 的极大值，极小值同理)
当函数f (x)在点X0处连续时，
①如果在X0附近的左侧f'(x) >0,右侧f'(x) v0，那么f(X0)是极大值； ②如果在X0附近的左侧f'(x) v 0,右侧f'(x) > 0，那么f(X0)是极小值.
y 2x3在(，)上并不是
0，有一个点例外即 x=0时f (x) = 0,同样f(x) 0是f (x)递减的充分非必
在其余各点均为正(或负)，那么 f( x)
也就是说X0是极值点的充分条件是 可导的点也可能是函数的极值点
②
X0点两侧导数异号，而不是 f'(x)=O①?此外，函数不
.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确
定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同)
注①： 若点X0是可导函数f(x)的极值点，贝y f'(x) =0.但反过来不一定成立?对于可导函 数，其一点
X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零
例如：函数y f (x) x3 , X 0使f (x)=o,但x 0不是极值点.
②例如：函数y f(x) |x|，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较. 注：函数的极值点一定有意义 . 9.几种常见的函数导数： I.C'
0 ( C为常数)
(sin x)
1
cosx
(arcsin x) -
1
1 1 x2
nJ n 1 /
、
( n R)
(x ) nx
? ' 1
(cos x)
1
sin x
(arccos x) 1 J x2
II. (In x)—
x '
X
x
(log a x)
1
1
loga e X
(arctan x)
1
1 X2 1
(e ) e
(ax)' a
x
l n a
' 1 (arc cot x) x2 1
III.求导的常见方法： ①常用结论：(ln |x|)'
1.
X
② 形如y (x ai )(x a2)...(x an)或y 求代数和形式.
(X ai)(X―a2 a)
^两边同取自然对数，可转化
(X bi)(x b2)...(x bn)
③ 无理函数或形如 y xX这类函数，如y xX取自然对数之后可变形为
ln y xlnx，对两边
求导可得 y In xx- y' yl nx y y' xX l nx xX.
y x
导数知识点总结复习
经典例题剖析 考点一：求导公式。
例1. f (X)是f(x)
1 3
—X3 2x 1的导函数，贝y f ( 1)的值是 _____________________ 。 3
考点二：导数的几何意义。
1
例2.已知函数y f(x)的图象在点M (1, f(1))处的切线方程是y -x 2，则 f ⑴ f (1) 。 例3?曲线y x3 2x2 4x 2在点(1, 3)处的切线方程是 _______________________ 。
点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。
例4?已知曲线 C: y x3 3x2 2x，直线l : y kx，且直线l与曲线 C相切于点 x0, y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。
点评：本小题考查导数几何意义的应用。 解决此类问题时应注意切点既在曲线上又在切 线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是 必要条件。
考点四：函数的单调性。 例5?已知fx
ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求 a的取值范
对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。
点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
考点五：函数的极值。
例6.设函数f (x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 (1 )求a、b的值；
(2)若对于任意的x [0,3]，都有f (x) c2成立，求c的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 ① 求导数f' x ； ②
求f' x 0的根；
f x的极值步骤：
区间上取值的正负可确定并求出函数
f x的极值。
③将f' x 0的根在数轴上标出，得出单调区间，由 六：函数的最值。 例7.已知a为实数，f x
f' x在各 考点
x2 4 x a 。求导数f'x ; (2 )若f' 1 0 ,求fx
在区间 2,2 上的最大值和最小值。
点评： 本题考查可导函数最值的求法。 求可导函数 f x 在区间 a,b 上的最值， 要先求出函 数 f x 在区间 a,b 上的极值， 然后与 f a 和 f b 进行比较， 从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。
例 8. 设函数 f(x) ax3 bx c (a 0)为奇函数，其图象在点 ( 1 , f ( 1 ))处的切线与直线
x 6y 7 0 垂直，导函数 f '(x) 的最小值为 12。( 1)求 a ， b， c 的值；
f(x) 在［ 1 ,3］上的最大值和最小值
(2)求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以 及推理能力和运算能力。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
