第3讲 数列的综合问题
1．(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N，则a1＝______，
S5＝______. 答案 1 121
??a2＝2a1＋1，
解析 由?
?a2＋a1＝4，?
*
解得a1＝1，a2＝3，
当n≥2时，由已知可得：
an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1， ∴{an}是以a1＝1为首项，以q＝3为公比的等比数列．
1－1×35
∴S5＝＝121.
1－3
2．(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，
n∈N.
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
y254n－3n2
(2)设双曲线x－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.a2n33n－1
(1)解 由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋
1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立． 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1*
.
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得
1 / 16
2a3＝3a2＋2，即2q＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，
由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2
n－1
2
(n∈N)．
n－1
*
(2)证明 由(1)可知，an＝q.
y22
所以双曲线x－＝1的离心率
a2n en＝1＋a2n＝1＋q2n－1
.
54
由e2＝1＋q2＝，解得q＝.
33
因为1＋q 所以1＋q2k－1
2(k－1)
>q2(k－1)
，
>qk－1
(k∈N)．qn－1
＝.q－1
*
于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1
4n－3n
故e1＋e2＋…＋en>.3n－1
1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相
结合，考查数学建模和数学应用.
2 / 16
热点一 利用Sn，an的关系式求an 1．数列{an}中，an与Sn的关系：
??S1 an＝?
?Sn－Sn－1 ?
n＝1n≥2
.
2．求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法
求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中，满足
an＋1
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求an
数列的通项an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2，则Sn＝________.
答案 n·2
nnnn解析 由Sn＝2an－2，得S1＝a1＝2a1－2，a1＝2，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2 (n≥2)，则Sn＝2Sn－1＋
2 (n≥2)，
－
?Sn?Sn－1S1SnS1Sn
＝1(n≥2)，所以??是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝＋n－1＝2n－122n22n?2n?
n n，故Sn＝n·2.
思维升华 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求
an.
an跟踪演练1 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an＋2
，则数列{an}的通项公式4
n3 / 16
(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略专题四数列、推理与证明第3讲数列的综合问题练习文
