高中数学北师大版必修5第二章《解三角形的实际应用举例》
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1教学目标
1.结合实际测量工具,能用正弦定理、余弦定理等知识解决生活中一物体高度的测量问题. 2.使学生体会数学知识来源于生活并应用于生活,进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及观察、归纳、类比、概括的能力.提高灵活地选择正弦定理、余弦定理的解题能力.
2学情分析
正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.本节课主要是测量问题,一是要熟悉仰角、俯角的意义,二是要会在几个三角形中找出已知量与未知量之间的关系,逐步转化,最终归结为解三角形的问题.
3重点难点 4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】解三角形
思路1.(问题导入)现实生活中,人们又是怎样测量建筑物高度的呢?通过学习本节你将轻松愉快地测量出山高和工厂的烟囱高,在学生踊跃的状态下展开新课.或者先让学生说一说我们校园内水塔的高度测量问题,在学生纷纷寻求测量水塔高度的方法争论中自然地引入新课.
思路2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗?如果身边带着测角仪,那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度.利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来,在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课. 活动2【讲授】解三角形
教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容,学生很快回忆起来,若已知三角形的两边及其中一边的对角先用正弦定理较好.引导学生回忆数学建模的方法步骤:分析→建模→求解→
检验,鼓励学生多动手画图.特别是对想象能力较弱的学生,更应画出图形,在图形上标出已知的数据以加强直观感知.
对于底部可到达的物体的高度问题,如测量电线杆的高度,利用初中的知识即可解决.如图1,只要测出∠B及BC即可算出AC的高度.对底部不能到达的物体的高度怎样测量呢?
图1 图2
教师引导学生分组讨论,充分发挥学生的想象力.学生会提出许多的方案.教师可一一指导,选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点,比如有的学生会提出:既然底部不可到达则BC就不可测出,但作为解三角形的条件至少需有一边,如此可否在原来的B点后退至B′点,测量BB′的距离.如图2,引导学生深入探究,效果将会很好.
在具体解题过程中,教师可针对解题中的近似值处理问题,适时地提醒学生注意:(1)应根据题中对精确度的要求,合理选择近似值.(2)为避免误差的积累,解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据,少用间接求出的量. 讨论结果:①~④略. 活动3【练习】解三角形
例1 如图3所示,两点C,D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1,D1,利用高为1.5 m 的测角仪器测得烟囱的仰角分别是α=45°和β=60°,C,D间的距离是12 m.计算烟囱的高AB(结果精确到0.01 m).
图3 图4
解:在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,由正弦定理,得 =,
BC1===(18+6)(m),
从而A1B=BC1=18+6≈28.392(m),
因此AB=A1B+AA1≈28.392+1.5=29.892≈29.89(m). 答:烟囱的高约为29.89 m.
点评:这样我们就设计出一种测量底部不可到达的建筑物的高度的方法,利用测角仪器和长度测量工具即可完成,即要测量某一高度AB,只要在地面某一条直线上取两点D,C,量出CD的长a,并在C,D两点测出B的仰角α,β,则高度AB=+h,其中h为测角仪器的高. 变式训练
如图5,B,C,D三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高AB等于( ). 图5
A. B. C. D. 答案:C
例2 如图6,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40′,在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到0.1 m). 图6 图7 活动:本题实际上是上例的变式训练.
教师引导学生观察图形,弄清俯角是什么意思.假若把该图以D为支点逆时针旋转90°,如图7,让学生观察此图与例1图形的异同.教师要给学生留出一定的探究时间,让学生充分讨论思考,学生会发现,例1、例2两题图形的形状是一致的,这里易知∠ABC=90°-α,∠ACB=90°+β及BC=27.3 m,而求CD(如图7).学生只要探究到这步,以下的问题可完全由学生自己解决,教师只是点拨其解题步骤的书写及近似值的确定即可.
解:在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α. 根据正弦定理,=, 所以AB==.
解Rt△ABD,得BD=ABsin∠BAD=. 将测量数据代入上式,得 BD==≈176.5(m),
CD=BD-BC≈176.5-27.3≈149.2(m). 答:山的高度约为149.2 m.
点评:本题学生也可能这样求解:先在△ABC中求得AC,再在Rt△ACD中直接求得CD,教师应鼓励学生这样思考很好,更直接.
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