圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第二章 数量关系
第四节 组合与概率
一、考点精讲（一）排列与组合
1．排列组合问题概述（1）排列
排列是指从n个不同的元素中，取出m个（m≤n）元素（各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列公式：An＝
m
n?＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）。
(n?m)！（2）组合
组合是指从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素拼成一组（即不排序），叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合公式：Cn＝
mn?n?(n?1)?(n?2)????n?m?1)＝。
m?(n?m)！m?(m?1)?(m?2)???12．解题方法（1）分类法
分类法是指对完成一件事，需要根据某个依据划分为几个类别，各类别内的方法可以独立地完成该事，从而实际的方法数为各类别的方法数直接相加，即分类用加法原理。
具体步骤为：
①根据题目的信息，确定分类的标准；②确定每个标准下面的取法；
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台③根据加法原理，求出满足条件的个数。
【例】甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人。问有多少种不同的选法？（ ）
A．67B．63C．53D．51【答案】D
【解析】由“要求女职员比重不得低于一半”可知，选拔可分为三种情况：①2男2女，需先从4个女职员中选两个，再从4个男职员中选两个，最后减去4个职员都从一个
13?C4科室中选出的2种情形，即有C42?C42－2＝34种选法；②1男3女，有C4＝16种选
法；③0男4女，只有1种选法。则共有34＋16＋1＝51种选法。
（2）分步法
分步法是指完成一件事，需要将该事划分为多个步骤依次完成，每个步骤内的方法只能保证完成该步，从而实际的方法数为各步骤的方法数直接相乘，即分步用乘法原理。
具体步骤为：
①根据题目的信息，确定为分步方式；②确定每个步骤下面的取法；
③根据乘法原理，求出满足条件的个数。
【例】某论坛邀请了六位嘉宾，安排其中三人进行单独演讲，另三人参加圆桌对话节目。如每位嘉宾都可以参加演讲或圆桌对话，演讲顺序分先后且圆桌对话必须安排在任意
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台两场演讲之间，问一共有多少种不同的安排方式？（ ）
A．120B．240C．480D．1440【答案】B
【解析】第一步，将6人分为演讲组和圆桌对话组，共C3＝20种安排方式；第二步，6将演讲组全排列，共
A33＝6种安排方式；第三步，将圆桌对话组安排在任意两场演讲之间，共2种安排方式，
则一共有20×6×2＝240种安排方式。
（3）捆绑插空法
①相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。
②不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。
【例】A、B、C、D、E、F、G，这7位同学站成一排，要求AB两个同学必须相邻的排法共有多少种？（ ）
A．720B．1020C．1440D．1680【答案】C
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【解析】由于要求AB两个同学必须相邻，把这两个人看作一个元素，与剩余的5个元素进行排序，即有A66＝6×5×4×3×2×1＝720种。AB和BA的排序是不一样的，即AB的排序是2种，则满足要求的排序就是720×2＝1440种。
（4）重复剔除法①多人排成圈问题
ANN人排成一圈，有N种排法。
N②物品串成圈问题
ANN个珍珠串成一条项链，有N种串法。
2N（二）容斥原理
1．概念
容斥原理又称排斥原理，主要用于有重叠部分的计数方法，保证计算即无重复也无遗漏。其基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
2．容斥公式
（1）三集合容斥原理公式：
|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|
（2）两集合容斥原理公式：
|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|
（3）对两集合的容斥原理的推论公式：
满足条件1的个数＋满足条件2的个数－都满足的个数＝总数－都不满足的个数＝满足至少一个条件的个数。
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台3．考查题型
容斥原理中侧重考查两类题型：
（1）二或三集合容斥原理的整体思维，把满足单个条件的对象当做一个整体，结合题意列方程求解；
（2）多个集合的逆向思维考虑，考虑到正面分析每个条件会比较困难，根据题意可以从逆向考虑不满足的情况，再结合极端情况求解。
【例1】某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队。已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有（ ）。
A．3人B．4人C．6人D．7人【答案】B
【解析】设既参加足球队又参加排球队的有x人，由三集合容斥原理公式|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|可知，30＝20＋12＋10－6－2－x，解得x＝4人。
【例2】某公司招聘员工，按规定每人至多可报考两个职位。结果共42人报名，甲，乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为（ ）。
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