2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）已知当x?0时，f?x??3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则 （ ）
k（A）k=1, c =4 （B）k=1,c =?4 （C）k=3,c =4 （D）k=3,c =?4 【答案】（C）
【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】
解析：方法一：当x?0时，sinx:x
lim3sinx?sin3x3sinx?sinxcos2x?cosxsin2xx?0cxk?limx?0cxk ?limsinx?3?cos2x?2cos2x?x?0cxk?lim3?cos2x?2cos2xx?0cxk?1 ?lim3??2cos2x?1??2cos2xx?0cxk?1?lim4?4cos2x4sin2x?0cxk?1?limxx?0cxk?1 ?lim4x?0cxk?3?1?c?4,k?3，故选择（C）.
方法二：当x?0时，sinx?x?x33!?o(x3) 33f(x)?3sinx?sin3x?3[x?x3!?o(x3)]?[3x?(3x)3!?o(x3)]?4x3?o(x3)故c?4,k?3，选（C）.
2（2）设函数f?x?在x=0处可导，且f?0?=0，则limxf?x??2f?x3?x?0x3= （（A） ?2f??0? （B）?f??0? （C） f??0? 【答案】（B）
【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
）
D） 0
（
解析：limx?0x2f?x??2f?x3?x3?f?x??f?0?f?x3??f?0??? ?lim??23x?0xx?????f??0??2f??0???f??0?
故应选（B）
（3） 函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为 （ ）
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）3
【答案】（C）
【考点】复合函数求导 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法一：令g(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，
易知g(1)?g(2)?g(3)?0，且g?(x)?0有两个根，图象如图， 即g(x)有两个驻点，所以g(x)有两个驻点， 因为y?lnx函数单调，故lng(x)有两个驻点，选C.
方法二：
(x?2)(x?3)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?2)3x2?12x?11令f'(x)???0
(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)(x?2)(x?3)有两个不同的根.所以f(x)有两个驻点.选（C）. （4） 微分方程y????y?e（A） a(e?x2?x?e??x(??0) 的特解形式为（ ）
?e??x) （B） ax(e?x?e??x) ?be??x) （D） x2(ae?x?be??x)
（C） x(ae?x【答案】（C）
【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】
解析：对应齐次微分放的特征方程为r???0，解得r???， 于是y????y?e，y????y?e分别有特解y?axe?x222?x2??x
，y?bxe??x，
因此原非齐次方程有特解y?x(ae?x?be??x).选（C）.
（5） 设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0,g(0)?0,且f'(0)?g'(0)?0，则函数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ）
（A） f''(0)?0,g''(0)?0 （B） f''(0)?0,g''(0)?0 （C） f''(0)?0,g''(0)?0 （D） f''(0)?0,g''(0)?0
【答案】（A）
【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★ 【详解】
解析：因为函数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值，且f(x),g(x)均有二阶连续导数
所以
?z?f'(x)g(y)?x(0,0)(0,0)?0，
?z?y(0.0)?f(x)g'(y)(0.0)?0，满足.
?2z又因为A?2?x?f\x)g(y)(0,0)(0,0)?f\?g(0)，
?2zB??f'(x)g'(y)?x?y(0,0)?2zC?2?y?f(x)g\y)(0,0)(0,0)?f'(0)?g'(0)?0，
(0,0)?f(0)?g\，
所以必须有B?AC??f??(0)g??(0)f(0)g(0)?0且A?0， 又因为f(0)?0，g(0)?0， 所以f''(0)?0,g''(0)?0，选（A）.
?2?0?0（6） 设I??40lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，则I,J,K的大小
关系是（ ）
（A） I?J?K （B） I?K?J （C） J?I?K （D） K?J?I 【答案】（B）
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】
2011年考研数学二试题及答案
