第四讲 随机事件的概率
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 随机事件和确定事件
(1)在条件S下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
知识点二 概率与频率
(1)概率与频率的概念：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称
nAn次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝为n事件A出现的__频率__.
(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率fn(A)__来估计概率P(A)．
知识点三 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算
包含关系 定义 若事件A__发生__，则事件B__一定发生__，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 符号表示 __B?A(或A?B)__ __A＝B__ __A∪B(或A＋B)__ 相等关系 若B?A，且__A?B__，则称事件A与事件B相等 并事件 若某事件发生__当且仅当事件A发生或事件B发生__，(和事件) 则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 交事件 若某事件发生__当且仅当事件A发生且事件B发生__，(积事件) 则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 互斥事件 若A∩B为__不可能__事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然事件__，则称事件A与事件B互为对立事件 重要结论
__A∩B(或AB)__ __A∩B＝?__ __A∩B＝?，且A∪B＝Ω__ - 1 -
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__. (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__. (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__.
(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__.
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__.
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论中正确的是( AD ) A．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 B．两个事件的和事件是指两个事件都得发生
C．掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的
D．对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件 题组二 走进教材
2．(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( D ) A．至多有一次中靶 C．只有一次中靶
B．两次都中靶 D．两次都不中靶
[解析] “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D． 53．(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为____. 6[解析] 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结65
果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.
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题组三 考题再现
4．(2024·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3 C．0.6
B．0.4 D．0.7
[解析] 设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B．
5．(2024·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为( B )
- 2 -
1A． 51C． 3
1B． 61D． 4
[解析] 总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲丙A)，(乙B)；(甲，丙B)，(乙A)；(乙，丙A)(甲B)；(乙，丙B)，(甲A)，共6种(或C3A2＝6(种))，A城市恰1
好只有甲去有一种，故所求概率P＝.
6
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KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 随机事件的关系——自主练透
例1 (1)(2024·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2
个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )
A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球”
(2)(2024·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( C ) A．① C．③
B．②④ D．①③
(3)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立
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的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C．
(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C．
(3)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋
P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：
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“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)
88＝1，但A，B不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．
名师点拨 ?
(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
〔变式训练1〕
(2024·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为( B )
A．至多有2件次品 C．至多有2件正品
B．至多有1件次品 D．至少有2件正品
[解析] ∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．
考点二 随机事件的概率——多维探究
角度1 频率与概率
例2 (2024·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下
表：
电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变
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化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
[解析] (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50. 50
故所求概率为＝0.025.
2 000
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1 ＝56＋10＋45＋50＋160＋51 ＝372.
372
故所求概率估计为1－＝0.814.
2 000
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 角度2 统计与概率
例3 (2024·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测
评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A )
4A． 59C． 10
2B． 57D． 10
1
[解析] 记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是×(80×2＋
590×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，
乙的5次综合测评的平均成绩是
1442＋x×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝， 55
442＋x令90>，解得x<8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩
584
的概率是＝.故选A．
105
名师点拨 ?
概率和频率的关系
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(山东专用)2024版高考数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第四讲随机事件的概率学案
