空间向量在立体几何中的应用
【考纲说明】
1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；
2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；
3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；
【知识梳理】
一、空间向量的运算 1、向量的几何运算 （ 1）向量的数量积： 已知向量
，则
叫做
的数量积，记作 ；
② ③
．
；
，即
空间向量数量积的性质：①
（ 2）向量共线定理：向量
a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b
a ．
2、向量的坐标运算 （1）若
，
，则
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
，
，
，
；
，则
（2）若
，
， ．
（ 3）夹角公式：
1
（ 4）两点间的距离公式：若
， ，则
二、空间向量在立体几何中的应用
2.
利用空间向量证明平行问题
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 3. 利用空间向量证明垂直问题
对于垂直问题，一般是利用 进行证明；
4.
利用空间向量求角度
（
1）线线角的求法： 设直线 AB、CD对应的方向向量分别为 a、b，则直线 AB与 CD所成的角为
（线线角的范围
（ 2）线面角的求法：
设 n 是平面
的法向量， 是直线 的方向向量，则直线 与平面 所成的角为
（ 3）二面角的求法：
设 n1，n2 分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则 就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）
5. 利用空间向量求距离
（ 1）平面的法向量的求法：
设
n=(x,y,z) ，利用 n 与平面内的两个不共线的向a， b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取 其一组解，即得到平面的一个法向量（如图） 。
2
0,90 0] ） [0
（ 2）利用法向量求空间距离
（ a） 点 A 到平面
的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。
（ b） 直线
与平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。
（ c） 两平行平面
之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。
【经典例题】
【例 1】（ 2010 全国卷 1 理）正方体
（ A）
ABCD-A1 B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（
）
2 3
（ B）
3 3
（C）
2
（ D）
3
6 3
【解析】 D
【例 2】（2010 全国卷 2 文）已知三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面 ABC ，
SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（
）
（ A）
3
(B)
5
(C)
7 4
(D)
3
S
4
4
4
【解析】 D
F C
E
A
【例 3 】（ 2012 全国卷）三棱柱
ABC A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，
B
BAA1CAA1
60 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ____________。
【解析】
6
6
3
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