电力系统低频振荡 2.1 电力系统低频振荡
电力系统中发电机经输电线并列运行时，在扰动下会发生发电机转子间的相对摇摆，并在缺乏阻尼时引起持续振荡。此时，输电线上功率也会发生相应振荡。由于其振荡频率很低，一般为 0.2～2.5Hz，故称为低频振荡[5]。 2.2低频振动的分类
按振荡频率的大小和振荡涉及的范围来看，电力系统低频振荡大致分为两类[5]： 1）局部振荡模式（Local modals），是指厂站内的机组之间或电气距离较近的厂站机组之间的振荡，这种振荡局限于区域内，其影响范围较小且易于消除。这种振荡频率较高，一般在 0.7～2.5Hz 之间[6]。
2）区域振荡模式（Inter-area modals），是指一部分机群相对于另一部分机群的振荡，在联系较薄弱的互联系统中，耦合的两个或多个发电机群间常发生这种振荡。由于电气距离较大，同时发电机群的等值发电机的惯性时间常数较大，其振荡频率较低，一般在 0.1～0.7Hz 之间[6]。 2.3 低频振荡的产生机理
从低频振荡发生研究至今，在机理方面的研究主要集中在以下几个方面： 1） 负阻尼机理
根据线性系统理论分析，由于系统的调节措施的作用，产生了附加的负阻尼，抵消了系统的阻尼，导致扰动后振荡不衰减或增幅振荡。
1969年De mello和Concordia运用阻尼转矩的概念对单机无穷大系统低频振荡现象进行了机理研究[7]，指出: 由于励磁系统存在惯性，随着励磁调节器放大倍数的增加，与转子机械振荡相对应的特征根的实部数值将由负值逐渐上升，若实部由负变正，会产生增幅振荡。它揭示了单机无穷大系统增幅振荡发生的机理，这一方法是基于线性系统理论，通过分析励磁放大倍数和阻尼之间的关系来解释产生低频振荡的原因。基于这种分析的原理和思想，该方法可进一步扩大到多机系统，通过线性系统的特征根来判断系统是否会发生低频振荡。
该振荡机理概念清晰，物理意义明确，有助于理解为何远距离大容量输电易发生低频振荡，已成为电力系统低频振荡的经典理论。
目前负阻尼振荡机理大部分还停留在单机-无穷大系统中做理论分析[8-9]和控制器设计，多机系统中仅有少数应用，这是因为阻尼转矩的概念在多机系统中物理意义不够明确，且多机系统中的阻尼计算比较困难。 2） 共振或谐振理论
电力系统低频振荡研究的是各同步发电机转子间的相对摇摆稳定性，当系统中存在不能忽略的周期性扰动时，系统是非自治的，发电机转子运动方程必须用二阶常系数非齐次微分方程来描述。此时发电机转子运动方程的解由通解和特解两部
分组成，通解与系统的阻尼有关，而特解则跟系统非自治性有直接的关系。如果周期性扰动的频率与系统的固有低频振荡的频率接近，转子角的解中将有一个等幅不衰减的振荡特解。随着与阻尼有关的通解的衰减，余下的特解使得转子角表现为不稳定的等幅振荡。这就是低频振荡的强迫振荡机理。
强迫振荡机理与负阻尼机理有明显的不同，它具有起振快，从受到扰动到振荡到最大幅值一般只有两到三个振荡周期;功率在振荡过程中基本保持等幅振荡;扰动信号的频率越接近系统的固有频率，振荡的幅值越大，当与系统固有频率的差值超过一定的范围时，将很难激发振荡;振荡消失的速度很快，一旦扰动振荡源消失，功率振荡将大幅度衰减。 3） 非线性理论机理
由于系统的非线性的影响，其稳定结构发生变化。当参数或扰动在一定范围内变化时，会使得稳定结构发生变化，从而产生系统的振荡。这一分析有别于线性系统，因为线性系统的稳定是全局性的，而非线性系统的稳定是局部的。电力系统低频振荡的非线性奇异现象以及表现为一种非周期的、似乎是无规则的突发性的机电振荡混沌现象，都属于该范畴。
在所有低频振荡机理中，负阻尼机理研究得最早也最成熟，这主要得益于线性系统理论的成熟，目前已经形成了一套比较完整的理论体系，并且在工程上得到实际应用。
3 低频振荡的数学模型
以单机无穷大系统的低频振荡为例： 后的暂态电动势恒定及机械功率Pm恒定，忽略线路损耗和分布电容，则对设发电机采用经典二阶模，Xd
于下图中单机无穷大系统有如下关系：
的作用。 式中，
了
对上式在工作点附近线性化，则
若令
从而有特征方程为：Mp
，包含
为同步力矩系数，则当
时，上式可进一步改写为：
当无阻尼时（D=0），相应的特征根为：这对根反映了机组转子角增量在扰动后的过渡过程中将相对于无穷大系统作角频率为的等幅振荡。若设，并且EU
，X
，则有：
，对于50Hz工频，相对于50Hz系统，相当于
，当于
，称为系统无阻尼自然振荡角频率。对于有名值，
为相应的振频，在标幺值下， 。
下面再做一些讨论：
(1)小时，相应的较大，则对应的较大。这表明系统中机组间电气距离小时，相应机组间的振荡
频率较高；而机组间电气距离大时则对应的机组之间的振荡频率较低。若系统低频振荡的频率很低（0.2~0.5Hz），则一般认为属互联系统区域间的振荡模式（interarea mode）。而如果振荡频率较高，在1Hz以上，则可认为是本地或区域内机组间的振荡模式（local model）。
(2)在无机械阻尼时，低频振荡为等幅振荡，而在有机械阻尼时，则有
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