一元二次不等式及其解法
【设计思想】
新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】
本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】
学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】
知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；
过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；
情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法
（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】
教具：“几何画板”及PPT课件.
粉笔：用于板书示范.
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【教学过程】
一、创设情境，提出问题
某同学去网吧上网，现有两家网吧A、B可去，上网不足一小时均按1小时计算收费,一次连续上网不得超过17个小时.
网吧A每小时收费1.5元；网吧B收费原则如下：
时间 第1小时内 第2小时内 收费 1.7元 1.6元 第3小时内 1.5元 依此类推 …… 问题1：想一想，一次上网多长时间内能够保证选择去网吧A上网所需费用不大于去网吧B所需费用？
设计意图：问题（1）的设置与上一章节数列知识关联，从旧知识中产生新问题.问题（2）的设置是想通过学生感兴趣的上网问题及计时收费问题引入，通过学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系——一元二次不等式.
课件展示：设上网时间为x，则去网吧A所需费用为1.5x元；
去网吧B所需费用为1.7＋1.6＋1.5＋…＋1.7－0.1（x－1）= 由题意知1.5x≤
x(35?x)，整理得x2－5x≤0. 20x(35?x)， 20（其解集为｛x| 0≤x≤5｝所以，当上网时间在5小时以内时选择去网吧A） 二、明确概念，探究解法
由上面的研究，可得出一个不等式x2－5x≤0，由此明确概念.
一元二次不等式：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 问题2：你能够解出这个一元二次不等式吗？请你试一试.
教师此时可放手让学生尝试解这个一元二次不等式.
设计意图：让学生自己动手尝试解决，形成自己的解决方法，完成对一元二次不等式解法的初步建构.
学生情况预案：从以往的经验看，学生一般会有三种解决方式：
（1）两边消掉x得出x≤5；因为x≥0，故得0≤x≤5.
?x?0，?x?0，（2）将x－5 x≤0转化为?或?
x?5?0x?5?0.??2
（3）利用一元二次函数图象数形结合解决.
课件预案:利用“几何画板”演示二次函数y=x2－5x的图象，引导学生观察点在函数图象上变
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化时横纵坐标的变化. （视情况而定，若有学生是画图象数形结合的话，就展示学生的成果） 三、观察体会，归纳总结
通过上面不等式的求解，学生自己可以体会数形结合思想的运用，同时更能感受三个二次之间的关系.此时，教师趁热打铁.
问题3：试根据刚才解不等式的情况,我们想想看，对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）该如何求解呢？
学生在思考后提出自己的看法，然后老师引导学生完成下表. Δ=b2－4ac y=ax2+bx+c (a＞0)的图象 ax+bx+c=0 (a＞0)的根 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 ax+bx+c＜0 (a＞0)的解集 课件预案：利用PPT课件投影上表填表结果.
设计意图：通过几个具体的不等式的求解，引导学生寻求更一般的解法，使之推广，让学生体会从特殊到一般的认知规律. 四、优化思维，形成步骤 例1：求不等式-x2+2x-3>0的解集. （板书过程）
例2：求不等式4x2－4x＋1>0的解集.
问题4：你能总结出解一元二次不等式的一般步骤吗？ 课件预案：利用PPT课件投影：解一元二次不等式的步骤： ①先把不等式中二次项系数化为正数； ②计算Δ=b2－4ac，解对应的一元二次方程；
③根据对应方程的根的情况，结合不等号的方向，写出不等式的解集.
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22Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 设计意图：对于一元二次不等式的求解，其书写格式也需规范，通过教师板书予以示范.从求解过程中，提炼出解题步骤，形成方法，从感性认识上升到理性认识.解后反思应形成习惯，这对于学生以后的学习也是一种帮助. 五、练习反馈，合作检测 练1：求不等式4x2-4x>15的解集.
练2：求不等式13-4x2>0的解集. 六、探究提高，深化理解
（1） ax2+bx＋c>0对一切x都成立的条件是什么？ （2） ax2+bx＋c<0对一切x都成立的条件是什么？
设计意图：前面一直是给出不等式然后求解，而当我们知道一个不等式的解后，能否知道这个不等式呢？这个问题的设置对于学生进一步理解三个二次之间的关系大有助益.而开放性问题的设置，也使得学生的思维空间更广阔. 七、课堂小结
（1）通过这堂课，你学到了什么？ （2）给你留下印象最深的是什么？ 八、作业
（1）阅读作业：阅读课本78页内容并完成解一元二次不等式程序图的设计. （2）书面作业：习题3.2 A组 1,2,3,4 【板书设计】
多媒体投影部分 二、例题示范 ① ② ③ 一、一元二次不等式概念 三、解一元二次不等式步骤：
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（完整版）一元二次不等式及其解法教学设计
