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第五章 第六节 定积分在物理学上的应用
教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题 功，水压力和引力
教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题
教学难点：元素法的正确运用
教学内容：
一、变力沿直线所作的功
例1 半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功? 解：建立如图所示的坐标系
将高为的球缺取出水面，所需的力为：
其中：是球的重力，表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。
由球缺公式 V???x(r?) 有
2x3x??4F浮????r3???x2(r?)??1?g
3??3x从而 F(x)???x(r?)g(x?[0,2r])
32十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功。
取为积分变量，则，对于上的任一小区间[x,x?dx]，变力从到这段距离内
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所作的功。
xdW?F(x)dx???x(r?)g
32这就是功元素，并且功为
x??4??rW???gx2(r?)dx?g?x3?x4????r4g
0312?03?32r2r
另解 建立如图所示的坐标系
取为积分变量， 则 ， 在 上任取一个小区间，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为
由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为
将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 。 故功元素为
二、水压力
在水深为处的压强为，这里是水的比重。
如果有一面积为的A平板水平地放置在水深h处，那未，平板一侧所受的水压力为
若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。
例2 边长为和的矩形薄板，与水面成角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深处。设，水的比重为，试求薄板所受的水压力。
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解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是
取为积分变量， 则 (注意： 表示水深)
在中任取一小区间，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是 它所承受的水压力约为 于是，压力元素为
这一结果的实际意义十分明显
正好是薄板水平放置在深度为的水中时所受到的压力； 而是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为处所受的水压力。
三、引力
由物理学知道：质量为、，相距为的两质点间的引力大小为
为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。
例3 设有一半径为， 中心角为的圆弧形细棒， 其线密度为常数， 在圆心处有一质量为的质点， 试求这细棒对质点的引力。
解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。
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(整理)定积分在物理学上的应用.
