高考真题
专题十 计数原理
第三十一讲
1.
二项
式定理答案部分 2 r r r 10?3r 4
? C2x，由10 ? 3r ? 4 ，得 r ? 2 ，所以 x的系 C【解析】T ? r 2 5?r
C5 (x ) ( ) 5r ?1
x
数为C5 ? 2? 40 ．故选 C．
2. C【解析】(1?
2 2 1 x
)(1? x)6 展开式中含 x2 的项为1?C2 x2 ??
1 x?C4 x4 ? 30x2 ，故 x2 前系
2 6 2 6
数为 30，选 C．
3. C【解析】(2x ? y)的展开式的通项公式为： T
r ?1 3 3 5
? Cr (2x)5?r (?y)r ，
5
3 当 r ? 3 时， x(2x ? y)5 展开式中 xy的系数为C5 ? 22 ?(?1)3 ? ?40 ， 5 3 3 2 3 2 当 r ? 2 时， y(2x ? y)展开式中 xy的系数为C5 ? 2?(?1)? 80 ， 所以 xy的系数为80 ? 40 ? 40 ．选C． 4．A【解析】通项T
r?1 3 3 r ? 2 ，? Cr x6?rir (r ? 0,1, 2,???,6) ，令 得含 x4 的项为C2 x4i2 ? ?15x4 ，
6 6
故选A．
3 7 5．D【解析】因为(1? x)n 的展开式中的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以Cn ? Cn ，
解得n = 10 ，所以二项式(1 ? x)的展开式中奇数项的二项式系数和为 ? 2? 2．
10
1
10 9
2
6．C【解析】由(x ?1)? (1? x)? 1? Cx ? Cx????? Cx，知C? 15 ，
n n n n
n n 1 2 2 nn 2 ∴
n(n ?1)
? 15 ，解得n ? 6 或n ? ?5 (舍去)，故选 C． 2
r ?1 7．D【解析】T ? C(?1)ax5
r 5 r r 2?r
，令
30 r ? 1 ，可得?5a ? 30 ? a ? ?6 ，故选 D．
21 1 2 03 6 4 6 4 6 4
8．C【解析】由题意知 f (3, 0) ? CC， f (2,1) ? CC， f (1, 2) ? CC， f (0,3) ? CC，
6 4 因此 f (3, 0) ? f (2,1) ? f (1, 2) ? f (0,3) ?120 ．
9. A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项T ?
4
3
1
2 ?2 y)3 ? ?20x2 y3 ，故 x2 y3
的系数为－20，选 A．
10.
B【解析】通项C(3x)
n
r n?r
( )? Cr 3n?r x
n
x x
r
1
5 n? r 2 5
，常数项满足条件n ??r ，所以r ? 2
2
C5 ( x) (
2 高考真题
时 n ? 5 最小． 11．C【解析】T
2
r ? 2 ，所 ? Cr (x2 )5?r (? )r ? (?2)r Cr x10?5r ，令10 ? 5r ? 0 ，解得
r ?1 5 5
x3
以常数项为(?2)C5 ? 40 ．
12．D【解析】第一个因式取 x，第二个因式取 得：1?C1(?1)4 ? 5 ，第一个因式取2 ，
5 2
2
2 2
1
x
5
2 ? (?1)5 ? ?2 第二个因式取(?1)得： 展开式的常数项是5 ? (?2) ? 3 ．
5
13．D【解析】∵ T =Cr (2x2 )5-r ?( ? x?1)r = 25-r ( ?1)rCr x10-3r ，∴10 ? 3r =1，即r=3 ，
r +1 5 ∴ x 的系数为?40 ．
14. 15.
B【解析】(1? 2x)的展开式中含 x的系数等于C40x，系数为 40.答案选 B． 5 (2x)? C【解析】T ? Cr (4x )6?r (2? x )r ? Cr ? 22x(6?r ) ? 2? xr ? Cr ? 212x?3xr ，
r?1 6 6 6 令12x ? 3xr ? 0 ，则r ? 4 ，所以T ? C?15 ，故选 C．
5 6 4 5 2 2 2 2 16.
1【解析】T
6．
5
? Cx
5
r 5?r
(?
1
)? Cx
5
r r
5?
3r 2
1 3
(? )r ，令5 ??r ? 2 ，得r ? 2 ，
2 x 12 5 2 2
所以 x的系数为C(? )? ．
5 2 2
2
r ?1
2
2
17．7【解析】T
r 1 r ? Cx ( 1 )r ? C ( ) x r ?1 8
2x 2
?r r 83
8
8?4r 3
8 ? 4r ? 0 ，解得 r ? 2 ，所以所求 ，令 3
12 (常数项为C??)? 7 ． 2
2 8
2?m m 18．16,4【解析】将(x ?1)3 (x ? 2)2 变换为(1? x)3 (2 ? x)2 ，则其通项为Cr13?r xr Cm x， 3 2 2取 r ? 0, m ? 1和r ? 1, m ? 0 可得，
a ? C0C1 ? 2 + C1C0 ? 22 ? 4 ?12 ?16 ，令 x ? 0 ，得a ? 4 ．
4 3 2 3 2 5
19．4【解析】Τ
r?1 ? Cr ?3x?? Cr ?3r ? xr ，令r ? 2 得： C2 ?32 ? 54 ，解得n ? 4 ．
n n n
r
5 20． ?2 【解析】因为T ? Cr (ax2 )5?r ( 1 )r ? Cr a5?r x 10? 2 r ，所以由10 ??5 r ? 5 ? r ? 2 ，
r ?1 5 5 2 x
5?2
因此C2 ? ?80 ? a ? ?2. 5 a
)得T ? C(2x)21．10【解析】由(2x ??x r?1 5 5 r 5?r r
( x )? 2Cx ，令5 ? ? 3得r ? 4 ，
5 2 r 5?r r r 5?2 高考真题
此时系数为 10．
22．40【解析】由通项公式， T
r ?1 ? Cr 25?r ? xr ，令r = 3 ，得出 x3 的系数为C3 22 ? 40 ．
5 5
23．3【解析】(1+ x)4 展开式的通项为T
r ?1 ? Cr xr ，由题意可知，
4
1 3 0 2 4 a(C4 ? C4 ) ? C4 ? C4 ? C4 ? 32 ，解得a ? 3 ．
24. －20【解析】( x ? y)中T
r?1 8
? Cr x8?r yr ，令r ? 7 ，再令r ? 6 ，
8
2 7 7 6 得 xy的系数为C8 ? C8 ? ?20 ．
25.
1
【解析】二项展开式的通项公式为T
r?1 10
2 1 T ? C3 a3 x7 ，则C3 a3 ? 15 ，故a ? ． 4 10 10
2 b r r6?rr 12?3r
? Cabx，令12 ? 3r ? 0 ，得r ? 3 ， 2 6?r 26．2【解析】T ? r C6 (ax ) ( ) 6r ?1
x
? Cr x10?r ar ，当10 ? r ? 7 时， r ? 3 ，
333 故C6 ab? 20 ，∴ ab ?1, a2 ? b2 ≥2ab ? 2 ，当且仅当 a ? b ? 1 或 a ? b ? ?1 时等
号成立．
27． 【解析】通项Cx1
r 8?r 2
8 a ( )? Cr ar x
8 3 x r r 8?r ? 3 4 1 3 3 ? 8 ??r ? 4 ? r ? 3, C a? 7 ? a ??
8 3 2
所以 ．
1
2
28．20【解析】(x? )的展开式中第k ?1 项为
2
1
6
x
T ? Ck x?k x2(6?k ) ? Ck x12?3k (k ? 0,1, 2,
k ?1 6 6
3 , 6)
3 令12 ? 3k ? 3 ? k ? 3 得： x的系数为6 C? 20 ． 29．10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．
即： C4 a ? a ? 0
a5 ? 1 ??
? 35 5 4 ?Ca ? C1a ? a ? 0 ? 5 5 4 4 3
? a ? 10 ．
3
法二：对等式： f ? x? ? x5 ? a ? a ?1? x? ? a ?1? x??
0 1 2 2
? a ?1? x?两边连续对 x 求导三
5
5
次得： 60x2 ? 6a ? 24a (1? x) ? 60a (1? x)2 ，再运用赋值法，令 x ? ?1 得： 60 ? 6a ，即
3 4 5 3
a3 ? 10 ．
法三： f (x) ? x? (?1?1? x)，则a ? C(?1)? 10 。
3 5
5 5 3 2 高考真题
30．2【解析】由题意得T ? Ck x6?k ??
k ?1 2
2
6 4
4
3 a ? k ?k 6? k
?，
? ? ? ? ? a C x 6k 2
? ? x ??
∴ A ? ?? a?C ， B ? ?? a?C ，又∵ B ? 4 A ，
6 4
4
2
2
6
2
a ? 0 ，∴ a ? 2 ． ∴ ?? a?C ? 4?? a?C ，解之得a ? 4 ，又∵
6 6
31．15【解析】C(
6
4
x
y
)4 ( )2 ? 15x3 ． y x
高考数学真题专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理答案
