专题06 超越不等式（方程）型
[真题再现]
ex例1 （2024·南京三模·20改编）已知函数f(x)?2(a?R)，
x?ax?a其中e为自然对数的底数，若函数f(x)的定义域为R，且
f(2)?f(a)，求a的取值范围．
【答案】(2，4)
【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，
所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4． 方法1（讨论单调性）
ex(x－a)(x－2)ex
由f(x)＝2，得f'(x)＝22． x－ax＋a(x－ax＋a) ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意． ②当0＜a＜2时，
因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递
减，
所以f(a)＞f(2)，不符题意． ③当2＜a＜4时，
因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减， 所以f(a)＜f(2)，满足题意． 综上，a的取值范围为(2，4)．
方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性）
e2ea由f(2)＞f(a)，得＞．
4－aa
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ea
因为0＜a＜4，所以不等式可化为e＞(4－a)．
a
2
ex
设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4．
x
2
－(x－2)
因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递
x2减．
又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)． 所以，a的取值范围为(2，4)．
例2 （2016·宿迁三校学情调研·14）已知函数f(x)＝x－1－(e－
1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为 ． 【答案】?0,1?
【解析】易得f(1)＝f(e)=0
∵f?(x)?1?e?1x?(e?1)? xx∴当x?(0,e?1)时，f?(x)?0，f(x)在(0,e?1)单减；当x?(e?1,??)时，
f?(x)?0，f(x)在(e?1,??)单增
∴f(x)?0的解集是1?x?e
令1?ex?e，得0?x?1，故f(ex)＜0的x的取值范围为?0,1?． 例3 （2024·扬州五月测试·20改编）不等式x??lnx?0的解集是 . 【答案】(0,1]
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1x【解法一】显然x?1是方程x??lnx?0一个根
1??x???111x2?x?1?12????0 令f(x)?x??lnx，则f?(x)?1?2??22xxxxx21x故f(x)在(0,??)单增，且f(1)?0 所以不等式x??lnx?0的解集是(0,1]. 【解法二】x??lnx?0变形为x??lnx
设f(x)?x?，g(x)?lnx
而f(x)?x?在(0,??)单减，g(x)?lnx在(0,??)单增，且图象均过（1,0）
所以不等式x??lnx?0的解集是(0,1].
例4 方程3x?1?32x?3?3x?4?0的根是 . 【答案】?
【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性. 【解析】原方程可化为3x?1??x?1??32x?3??2x?3??0 设f(x)?3x?x，易得其为R上的单增奇函数 所以?x?1???2x?3??0，x??即为所求. [强化训练]
1. （2024·北京·6）已知函数f(x)?2x?x?1，则不等式f(x)?0的解集是（ ）．
43431x1x1x1x1x1x2024高考数学
A. (?1,1) C. (0,1) 【答案】D
B. (??,?1)(1,??) D. (??,0)?(1,??)
【分析】作出函数y?2x和y?x?1的图象，观察图象可得结果.
x【解析】因为f?x??2?x?1，所以f?x??0等价于2x?x?1，
在同一直角坐标系中作出y?2x和y?x?1的图象如图：
两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式2x?x?1的解为x?0或x?1.
所以不等式f?x??0的解集为：???,0???1,???. 2. 关于x的不等式x2?lnx?1?0的解集为___________. 【答案】[1,??)
3. 方程xex?elnx?e?0的根是___________. 【答案】1
【解析】设?(x)?xex?elnx?e，则??(x)?(x?1)ex??0，所以?(x)单调递增，
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ex因为?(1)?0，所以x?1.
4.已知?、?分别是方程x5?x?1?0、x?5x?1?0的根，则?＋?的值是 . 【答案】－1 5.已知实数
x、y
满足
?x?x2?1y?y2?1?1，则
???x2?3xy?4y2?6x?6y?2024的值是 .
【答案】2024
【提示】两边取自然对数得ln?x?x2?1??ln?y?y2?1??0 设f(x)?ln?x?x2?1?，则易得其为R上的单增奇函数 所以x?y?0，
故x2?3xy?4y2?6x?6y?2024?(x?y)(x?4y)?6(x?y)?2024?2024.
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专题06 超越不等式(方程)型-2024年高考数学压轴题解法分析与强化训练
