直线系方程的问题分类解析
一、平行直线系方程在解题中的应用
与直线：Ax?By?C?0（A,B不同时为0）平行的直线系方程为：Ax?By?C??0（C?C?）.
例1已知直线l：x?y?1?0，l∥m，直线n：x?2y?1?0被l，m截得的线段长为5，求直线m的方程.
解析：设m：x?y?c?0（c?1），直线l到直线n所处的角为?，直线m、l间的
1?(?1)12距离为d，由题知，kl=－1，kn=，由到角公式得，tan?==3，
121?(?1)?()2∴sin?=
31032，∴d=5sin?=， 102|c?1|12?12=
由平行线间距离公式得，32，解得c=—2或c=4， 2∴直线m方程为：x?y?4?0或x?y?2?0. 二、垂直直线系方程在解题中的应用
与直线：Ax?By?C?0（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：Bx?Ay?C??0. 例2已知直线l是曲线y?x?1的一条切线且与直线x?2y?5?0垂直，求l方程. 解析：设l：2x?y?c?0，
2?y?x2?12由?消去y得，x?2x?c?1?0， ?2x?y?c?0由l与曲线y?x?1相切得，?=2?4(1?c)=0，解得c=0， ∴l：2x?y?0.
三、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点（x0，y0）的直线系方程：A(x?x0)?B(y?y0)?0（A,B不同时为0）.
22，4)圆(x?2)?(y?3)?1的切线的方程． 例 3 求过点P(?1 解析：设所求直线的方程为A(x?1)?B(y?4)?0（其中A，B不全为零），
22
则整理有Ax?By?A?4B?0，
∵直线l与圆相切，∴圆心C(2，故3)到直线l的距离等于半径1，
2A?3B?A?4BA?B22 ?1，
整理，得A(4A?3B)?0，即A?0（这时B?0），或A? 故所求直线l的方程为y?4或3x?4y?13?0． 四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用
3B?0． 4过直线l：A与m：A2x?B2y?C2?0（A2,B21x?B1y?C1?0（A1,B1不同时为0）不同时为0）交点的直线系方程为：A 1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0（参数??R）
例4 求过直线：x?2y?1?0与直线：2x?y?1?0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
解析：设所求直线方程为：x?2y?1??(2x?y?1)?0，
当直线过原点时，则1??=0，则?=－1，此时所求直线方程为：x?2y?0； 当所求直线不过原点时，令x=0，解得y=由题意得，
??1??1，令y=0，解得x=?， ??22??11??1??1=?，解得??，此时，所求直线方程为：5x?5y?4?0.
3??22??1综上所述，所求直线方程为：x?2y?0或5x?5y?4?0. 五、求直线系方程过定点问题
例5 证明：直线mx?y?m?1?0(m是参数且m∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(x?1)m?y?1?0,
∵m∈R, ∴??x?1?0，解得，x?1，y?1，
?y?1?0∴直线mx?y?m?1?0(m是参数且m∈R)过定点（1,1）.
（特殊直线法）取m=0，m=1得，y?1，x?y?2?0，联立解得，x?1，y?1， 将（1,1）代入mx?y?m?1?0检验满足方程，
∴直线mx?y?m?1?0(m是参数且m∈R)过定点（1,1）.
特别解析：直线系方程的问题分类
