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探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
作者：孟繁露 林玉文
来源：《新校园·理论（上旬刊）》2011年第08期
两圆的位关系有五种:相离、外切、相交、内切和内含.笔者就两定圆的五种不同位置关系进行研究.为计算方便，取两定圆的半径r1、r2（r1≠r2），两定圆圆心连线的中点为坐标原点，建立直角坐标系. 1.两定圆相离
设两定圆圆心为C1（-c，0）、C2（c，0），半径分别为r1、r2，r1≠r2，动圆圆心为C（x，y），则⊙C1：（x＋c）2＋y2＝r12，⊙C2：（x-c）2+y2＝r22. （1）当圆C与圆C1、C2都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB| |C C1|＝■，|C C2|＝■
∵|C A|=|C C1|－r1，|CB|=|C C2|－r2，|C A|=|CB| ∴■-r1＝■-r2 平方整理得： ■x2-■y2=1 （r1≠r2）
当r1＞r2时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支； 当r1＜r2时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支； 所以点C的轨迹为双曲线的一支.
（当r1=r2时，|C C1|=|C C2|，点C的轨迹为线段C1 C2的垂直平分线，即y轴）. （2）当圆C与圆C1、C2都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB| ∵|C A|=|C C1|＋r1，|CB|=|C C2|＋r2，|C A|=|CB| ∴■＋r1＝■＋r2
整理得：■x2-■y2=1. （r1≠r2）
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当r1＞r2时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支； 当r1＜r2时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支； 所以点C的轨迹为双曲线的一支,且其轨迹方程为 ■x2-■y2=1 （r1≠r2）
（3）当动圆C与两个定圆一个内切一个外切时，
若圆C与圆C1外切、与C2内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，且|C C1|＞|C C2|，即x＞0.
∵|C A|=|C C1|－r1，|CB|=|C C2|＋r2，|C A|=|CB| ∴■-r1＝■＋r2 平方整理得：
■x2-■y2=1 （r1+r2≠2c） ∵⊙C1与⊙C2相离，
∴2c＞r1＋r2，4c2－（r1＋r2）2＞0, 点C的轨迹是双曲线的右支.
若当圆C与圆C1内切、与C2外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|， |C C1|＜|C C2|，即x＜0.同理可求，点C的轨迹方程是： ■x2-■y2=1 （r1+r2≠2c，x 点C的轨迹为双曲线的左支.
所以动圆圆心C的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的双曲线，其轨迹方程为 ■x2-■y2=1 （r1+r2≠2c）
综合（1）、（2）、（3）可知：若两定圆⊙C1与⊙C2相离，当动圆C与定圆C1、C2都外切或都内切时，动圆圆心C的轨迹是双曲线一支；当动圆C与定圆C1、C2其中一个内切，而与另一个外切时，动圆圆心C的轨迹是双曲线的两支.
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2.两定圆外切
当两定圆⊙C1与⊙C2外切时，在（1）中， ∵|CA|=|CC1|＋r1，|CB|=|CC2|＋r2，|CA|＝|CB|， ∴|C C1|＋r1=|C C2|＋r2 ∴|C C1|－|C C2|=r2－r1
在（2）中，CA|=|CC1|－r1，|CB|=|CC2|－r2，|CA|＝|CB|， ∴|C C1|－r1=|C C2|－r2 ∴|C C1|－|C C2|=r1－r2
由（1）和（2）可知，都有||C C1|－|C C2||=|r1－r2|，且|r1－r2|为定值，所以动圆圆心C的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线. 3.两定圆相交
两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：（1）与两相交定圆同时外切；（2）同时内切于两相交定圆；（3）与两相交定圆同时内切.
动圆圆心C的轨迹方程可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线（动圆圆心C的轨迹也可以就其中一个图形对两定圆的半径进行讨论而求得）.所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线（或其中一个部分）. 4.两定圆内切或两定圆内含
如本文开始所述，当两定圆内切（两定圆内切时，特殊情况为直线的一部分）或两定圆内含时，动圆C的圆心的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的椭圆.
由以上各种情况的分析，若已知两定圆⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2（r1≠r2），可得到以下结论：
①当两定圆相离、相交或外切时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线.
②当两定圆内切或内含时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆（特殊情况除外）.
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