第一讲 线性空间
一、 线性空间的定义及性质 [知识预备]
★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（）
另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1．线性空间的定义：
设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]: （I）在V中定义一个“加法”运算，即当x，y?V时，有唯一的和
x?y?V（封闭性），且加法运算满足下列性质:
（1）结合律 x?(y?z)?(x?y)?z； （2）交换律 x?y?y?x；
（3）零元律 存在零元素O，使x?O?x；
（4）负元律 对于任一元素x?V，存在一元素y?V，使x?y?O，且称y为x的负元素，记为(?x)。则有x?(?x)?O。
（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当x?V,k?K时，有唯一的kx?V（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 k(x?y)?kx?ky； （6）分配律 (k?l)x?kx?lx； （7）结合律 k(lx)?(kl)x； （8）恒等律 1x?x； 则称V为数域K上的线性空间。
注意以下几点：
1）线性空间是基于一定数域来的。同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。
2）两种运算、八条性质。数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。
3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。
当数域K为实数域时， V就称为实线性空间； K为复数域， V就称为复线性空间。
例1． 设R??{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
x
y?xy
, k?x?xk
证明：R?是实数域R上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性
唯一性显然
若x?0,y?0, k?R，则有
xy?xy?R?，k?x?xk?R? 封闭性得证。
②八条性质
（1）x(yz)?x(yz)?(xy)z?(xy)z （2） xy?xy?yx?yx
（3） 1是零元素 x1?x?1?x [xO?x?xO?x?O?1] （4） 1x是x的负元素 x1x?x?1x?1 [x?y?O] （5） k?(xy)?(xy)k?xkyk?(k?x)(k?y) [数因子分配律] （6） (k?l)?x?xk?l?xkxl?(k?x)(l?x) [分配律] （7） k?(l?x)?(xl)k?xkl?(kl)?x [结合律] （8） 1?x?x1?x [恒等律] 由此可证， R?是实数域R上的线性空间。
2．定理：线性空间具有如下性质
（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 （2） 如下恒等式成立： 0x?O，(?1)x?(?x)。 [证明]（1）采用反证法：
①零元素是唯一的。 设存在两个零元素O1和O2，则由于O1和O2均为零元素， 按零元律有
[交换律]
O1?O2?O1?O2?O1?O2
所以 O1?O2
即O1和O2相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 ②任一元素的负元素也是唯一的。假设?x?V，存在两个负元
素y和z，则根据负元律有
x?y?O?x?z
y?y?O?y?(x?z)?(y?x)?z?O?z?z [零元律] [结合律] [零元律] 即y和z相同，故负元素唯一。
（2） ①：设w?0x，则x?w?1x?0x?(1?0)x?x，故w?O。 [恒等律]
②：设w?(?1)x，则x?w?1x?(?1)x?0x?O，故w??x。
3．线性相关性
线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。
?线性组合：?x1,x2?,xm?V,c1,c2?,cm?K
c1x1?c2x2???cmxm??cixi
i?1m称为元素组x1,x2?,xm的一个线性组合。
?线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组
合，则称x可由该元素组线性表示。
?线性相关性：如果存在一组不全为零的数c1,c2?,cm?K，使得对于元素x1,x2?,xm?V有
?cxii?1mi?0
则称元素组x1,x2?,xm线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。 4．线性空间的维数
定义：线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为V的维数，记为dimV。
本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。
例2. 全体m×n阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加
法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。
[解] 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。
令Eij为这样的一个m×n阶矩阵，其(i,j)元素为1，其余元素为零。
显然，这样的矩阵共有m×n个，构成一个具有m×n个元素的线性无关元素组?E11,E12,?,E1n;E21,E22,?,E2n;?;Em1,Em2,?,Emn?。另一方面，还需说明元素个数最大。对于任意的A?(aij)m?n，都可由以上元素组线性表示，
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