高考数学(人教a版,理科)题库：命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案)

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分又不必要条件

解析 若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1?|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1?a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件． 答案 A

2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 答案 B

1

3．已知集合A＝{x∈R|2<2x<8}，B＝{x∈R|－12 D．－2

1

解析 A＝{x∈R|2<2x<8}＝{x|－1

∴m＋1>3，即m>2. 答案 C

4．命题：“若x2<1，则－1

B．若－11或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析 x2<1的否定为：x2≥1；－1

5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )． A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B. 答案 B

6．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 A．0

B．a<1

D．0

( )．

1

解析 法一 (直接法)当a＝0时，x＝－2符合题意． 当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)， Δ＝4－4a>0，??则?1

<0??a

?a<1，

???a<0； ?a<0Δ＝4－4a≥0，

??－2

<0，

若方程两根均负，则?a

1??a>0

?a≤1，

???00

综上所述，所求充要条件是a≤1.

法二 (排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C. 答案 C

二、填空题

7．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 2π??

p1：|a＋b|＞1?θ∈?0，3?

???2π?

p2：|a＋b|＞1?θ∈?3，π?

??π??0，?p3：|a－b|＞1?θ∈ 3????π?

p4：|a－b|＞1?θ∈?3，π?

??

其中真命题的个数是____________．

1

解析 由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－2，2π?2π?1??

故θ∈?0，3?.当θ∈?0，3?时，a·b＞－2，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋

????b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所1?π?以a·b＜2，故θ∈?3，π?，反之也成立，p4正确．

??答案 2

8．若“x2>1”是“x

解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案 －1 9．已知集合

???1

A＝?x?2<2x<8，x∈R

???

??

?，B＝{x|－1

x∈B成立

的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． 解析

???1

A＝?x?2<2x<8，x∈R

???

??

?＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB， ∴m＋1>3，即m>2. 答案 (2，＋∞)

1

10．“m<4”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．