垂径定理在解题中的应用
山东省东阿县第二中学 李浩明
垂径定理是圆的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用. 在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下:
一、求半径
例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=( )
(A)5 (B)7 (C)
C 3737 (D) 57O A D 图1
B
析解:由垂径定理可知△AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.设
1AB=5(米).在Rt△AOD中，237222222因为AD?OD?OA，所以5?(7?x)?x，解这个方程得:x?.故应选(D).
7半径OA=x米，则OD=CD－OC=7－x(米).因为OD⊥AB,所以AD=二、求弦长
例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图2所示，则这个小孔的直径AB＿＿＿＿mm．
D8mm
A
B
AOCB图2
图3
析解:要求小孔的直径AB，关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图3，设圆心为O，连接OA,过点O作OC⊥AB,交劣弧于D，C为垂足，则AC=CB，
OA=OD=?10?5mm，OC=8－5=3mm，在Rt△AOC中，AC=OA2?OC2?52?32?4，所
以AB=2AC=2×4=8(mm).
三、求弦心距
12例3.如图4，O的半径为5，弦AB?8，则OC的长等于 ． OC?AB于C，
OAC图4 B
析解:连接OA,因为OC?AB于C，所以由垂径定理可得AC=△AOC中，由勾股定理可得OC=OA2?AC2?52?42?3.
四、求拱高
11AB??8?4.在Rt22例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为_____m．
CADO图5
B析解:由垂径定理可得AD=
11AB??16?8.在Rt△AOC中，22OD=OA2?AD2?102?82?6,所以CD=OC－OD=10－6=4(m).
五、求角度
例5.如图6，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60o，则∠B= ．
D A C 图6
B
O 析解:因为CD⊥AB，AB为直径，所以由垂径定理可知AD?AC，利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得:∠B=
11?AOC=?60??30?. 22六、探究线段的最小值
例6.如图7，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm．
OACP图7
B
析解:因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦AB的弦心距.过点O作OC⊥AB, C为垂足，则AC=11AB??16?8.在Rt△AOC中，由勾股定22理可得OC=OA2?AC2?102?82?6.故点P到圆心O的最短距离为6cm．
人教版_2024中考数学一轮复习垂径定理在解题中的应用
