课程编号：17063 北京理工大学2010-2011学年第一学期
2009级数学类高等代数期末考试试题A卷
班级 学号 姓名 成绩 一、（25分）设Mn?n(F)表示域F上的所有n阶矩阵构成的F上的线性空间。取定
?(X)?AX?XA。
A?Mn?n(F)，对于任意的
X?Mn?n(F)，定义
（1）证明：?为Mn?n(F)上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的X,Y?Mn?n(F)都有?(XY)??(X)Y?X?(Y)。 （3）当A???ab?时，求???cd?在给定基
?01??10??11??11?F11??,F?,F?,F??12?11?21?01?22?10?下的矩阵表示。 11????????（4）当A????14?时，求Ker(?)的一组基与维数。 ??02?二、（15分）设数域K上3维线性空间V的线性变换A在V的一个
?010??。求线性变换A的标准形。 ?440基?1,?2,?3下的矩阵为A???????212??三、（20分）设A是域F上n维线性空间V上的一个线性变换，证明：（1）如果W是A的一维不变子空间，那么W中任何一个非零向量都是A的特征向量；反之，如果?是A的一个特征向量，那么?生成的子空间???是A的一维不变子空间。
（2）A可以对角化的充分必要条件是V可以分解成A的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设V?M2?2(F)，在V中取一个基E11,E12,E21,E22。
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（1）求它的对偶基f11,f12,f21,f22，要求写出fij的表达式。 （2）求V上任意一个线性函数f的表达式。
五、（20分）证明：n维酉空间V上的线性变换A是变换A当且仅当在V的任意一个标准正交基下的矩阵是矩阵。
课程编号：17063 北京理工大学2011-2012学年第一学期
2010级数学类高等代数期末考试试题 A卷
班级 学号 姓名 成绩 一、（15分）设Mn?n(F)为数域F上所有n阶矩阵构成的F上的线性空间。取定A?Mn?n(F)，对于任意的X?Mn?n(F)，定义?(X)?AX?XA。 （1）证明：?为Mn?n(F)上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的X,Y?Mn?n(F)都有?(XY)??(X)Y?X?(Y)。 （3）当A???1???ab?时，求???cd?在给定基
?10??11??11??11?,??,??,???2?00?3?10?4?11?下的矩阵表示。 00????????二、（15分）设数域F上4维线性空间V的线性变换A在V的一个
?3?402??4?5?24??。求线性变换A的标准A???003?2???002?1??基?1,?2,?3,?4下的矩阵为
形。
三、（20分）设A是数域F上n维线性空间V上的一个线性变换，证明：A可以对角化当且仅当V可以分解成A的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设V?M3?3()，在V中取一个基Eij(i,j?1,2,3)。
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（1）求它的对偶基fij(i,j?1,2,3)，要求写出fij的表达式。 （2）求V上任意一个线性函数f的表达式。
五、（15分）证明：n维欧几里得空间V上的线性变换A是斜对称变换当且仅当A在V的任意一个标准正交基下的矩阵是斜对称矩阵。
六、（15分）设A是数域F上n维线性空间V上的一个线性变换，试写出你所知道的A可以对角化的充要条件。
课程编号：17063 北京理工大学2011-2012学年第一学期
2010级数学类高等代数期末考试试题 B卷
班级 学号 姓名 成绩 一、（15分）设Mn?n(F)为数域F上所有n阶矩阵构成的F上的线性空间。取定A?Mn?n(F)，对于任意的X?Mn?n(F)，定义?(X)?AX?XA。 （1）证明：?为Mn?n(F)上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的X,Y?Mn?n(F)都有?(XY)??(X)Y?X?(Y)。 （3）当A???ab?时，求???cd?在给定基
?01??10??11??11??1???,?2??11?,?3??01?,?4??10?下的矩阵表示。 11????????二、（15分）设数域F上4维线性空间V的线性变换A在V的一个
?3?1?11基?1,?2,?3,?4下的矩阵为A???30??4?10?00??，求线性变换A的标准形。 5?3??3?1?0三、（20分）设A是数域F上n维线性空间V上的一个线性变换，
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北京理工大学数学专业高等代数期末试题MTH
