因式分解的应用
山东 张国军
因式分解是中考命题中很重要的一个考点，单独命题的题型多见填空题、选择题，也经常与方程、函数、化简求值、分式运算、根式运算等知识电结合进行综合考察．
因此，复习这一部分应从定义、方法、和一般步骤三个方面入手，在正确理解其定义、方法、和一般步骤的基础上应当明确运用公式法分解因式的思路：当多项式只有两项，各项指数都是2的倍数，且两项系数异号时，可考虑用平方差公式加以分解；若多项式为三项时，可考虑用完全平方式加以分解；若四项以上多项式，可考虑分组分解．
分解因式时，常见的思维误区有：
1、 提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． 2、 提取公因时，如有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉． 3、 结果不彻底，如保留中括号形式等．
只要掌握了以上几点，分解因式就不难．在此，主要是讲一下：
利用因式分解巧妙地简化计算或求值，解方程，解实际应用问题，解决整数论等问题：
典例剖析：
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例1、解方程：（x+1）(x-1)-(x-1)=(2x+1)(2x-1)
析答：先化简方程得：（x-1）[(x+1)-(x-1)]=4x-1，即4x(x-1)=4x-1,∴-4x=-1.∴x=
2
配套练习1：(x-1)(x+2)+(x+3)(x-4)+(x-1)(x+3)+(x+2)(x-4)=(2x-1) 答案：x=
2
2
2
2
1 413 22??x?y?79??例2：解方程组：???x?y?79??析答：由平方差公式，得???x?y?89???x?y?89?2?336,
22?168.?336?x?y?5??336,
?336?x?y?5??168.?x?y?6,???1x?y?5?2?23?x??4,? ???y?1.?4?2
配套练习2：正方形甲的周长比正方形乙的周长长96cm，它们的面积相差为960cm ，
求这两个正方形的边长．
答案：正方形甲的边长为32 cm，正方形乙的边长为8cm.
例3、如图，水压机有4根钢管立柱，每根的高h都是18 米，外径D为1米，内径d为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨，求4根立柱的总重量（?取3.14，结果保留两个
有效数字）
D d
h
析答：易知，R=
2
11D=0.5米，r=d=0.2米， 222
∴W=?（0.5-0.2）×18×7.8×4=??0.7?0.3?18?7.8?4?3.7?10答：4根立柱的总重量为3.7×10吨．
2
2
配套练习3：在一块边长为am的正方形铁皮的四角，各剪去一个边长为b（b＜
a）m的正2方形，求其余部分的面积，并利用因式分解计算，当a=1.8m,b=0.6m时剩余部分的面积．
2
答案：其余部分的面积为1.8m.
例4、利用因式分解计算：
1812?612（1）1.99-2.99；（2）80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5（3）
3012?18122
2
2
2
（4）1297的5%，减去897的5%，差是多少？ 精析：（1）（3）先用平方差公式分解后再计算，（2）先提取公因式80，再用完全平方公式；（4）先提取公因式5%．
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解：（1）1.99-2.99 =（1.99+2.99）-（1.99-2.99）=4.98×（-1）=-4.98
2222
（2）80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5 =80×（3.5+2×3.5×1.5+1.5） =80×
2
（3.5+1.5） =2000
1812?612（186?61）（186?61）242?120121 （3）=== 22301?181（301?108）（301?108）482?120241（4）1297×5%-897×5%=（1297-897）×5%=400×5%=20．
解后反思：化零为整是计算的技巧之一，要认真掌握．
配套练习4：（1） 869的36%，加上869的54%，和是多少？
22222
（2）计算：100-99+98-97+……+2-1 答案： （1）782.1；（2）5050
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例5、已知a、b、c为三角形三边，且满足a+b+c-ab-bc-ac=0 ，试说明该三角形是等边三角形．
精析：联系完全平方公式中各项特征．
222222
解：∵a+b+c-ab-bc-ac=0，∴2（a+b+c-ab-bc-ac）=0，
222222222
∴a+b-2ab+b+c-2bc+a+c-2ac=0，∴（a-b）+(b-c)+(a-c)=0,
222
又因为（a-b）≥0，(b-c)≥0，(a-c) ≥0， 所以 a-b=0，b-c=0，a-c=0，所以a=b=c 所以此三角形为等边三角形．
规律探究：本题是一道因式分解与三角形综合的探索性题目，解题关键在于恰当分组后，应用非负数的性质使问题得到解决．
配套练习5：（1）已知：a+b-a+4b+4
（2）已知a+b=2,ab=?2
2
1=0，求a、b的值． 412222
,求a+b, a-ab+b的值． 2112222
答案：（1）a=，b=-2；（2）a+b=5，a-ab+b=5
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因式分解的应用
