因式分解的应用
山东 张国军
因式分解是中考命题中很重要的一个考点,单独命题的题型多见填空题、选择题,也经常与方程、函数、化简求值、分式运算、根式运算等知识电结合进行综合考察.
因此,复习这一部分应从定义、方法、和一般步骤三个方面入手,在正确理解其定义、方法、和一般步骤的基础上应当明确运用公式法分解因式的思路:当多项式只有两项,各项指数都是2的倍数,且两项系数异号时,可考虑用平方差公式加以分解;若多项式为三项时,可考虑用完全平方式加以分解;若四项以上多项式,可考虑分组分解.
分解因式时,常见的思维误区有:
1、 提公因式时,其公因式应找字母指数最低的,而不是以首项为准. 2、 提取公因时,如有一项被全部提出,括号内的项“1”易漏掉. 3、 结果不彻底,如保留中括号形式等.
只要掌握了以上几点,分解因式就不难.在此,主要是讲一下:
利用因式分解巧妙地简化计算或求值,解方程,解实际应用问题,解决整数论等问题:
典例剖析:
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例1、解方程:(x+1)(x-1)-(x-1)=(2x+1)(2x-1)
析答:先化简方程得:(x-1)[(x+1)-(x-1)]=4x-1,即4x(x-1)=4x-1,∴-4x=-1.∴x=
2
配套练习1:(x-1)(x+2)+(x+3)(x-4)+(x-1)(x+3)+(x+2)(x-4)=(2x-1) 答案:x=
2
2
2
2
1 413 22??x?y?79??例2:解方程组:???x?y?79??析答:由平方差公式,得???x?y?89???x?y?89?2?336,
22?168.?336?x?y?5??336,
?336?x?y?5??168.?x?y?6,???1x?y?5?2?23?x??4,? ???y?1.?4?2
配套练习2:正方形甲的周长比正方形乙的周长长96cm,它们的面积相差为960cm ,
求这两个正方形的边长.
答案:正方形甲的边长为32 cm,正方形乙的边长为8cm.
例3、如图,水压机有4根钢管立柱,每根的高h都是18 米,外径D为1米,内径d为0.4米,每立方米钢的重量为7.8吨,求4根立柱的总重量(?取3.14,结果保留两个
有效数字)
D d
h
析答:易知,R=
2
11D=0.5米,r=d=0.2米, 222
∴W=?(0.5-0.2)×18×7.8×4=??0.7?0.3?18?7.8?4?3.7?10答:4根立柱的总重量为3.7×10吨.
2
2
配套练习3:在一块边长为am的正方形铁皮的四角,各剪去一个边长为b(b<
a)m的正2方形,求其余部分的面积,并利用因式分解计算,当a=1.8m,b=0.6m时剩余部分的面积.
2
答案:其余部分的面积为1.8m.
例4、利用因式分解计算:
1812?612(1)1.99-2.99;(2)80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5(3)
3012?18122
2
2
2
(4)1297的5%,减去897的5%,差是多少? 精析:(1)(3)先用平方差公式分解后再计算,(2)先提取公因式80,再用完全平方公式;(4)先提取公因式5%.
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解:(1)1.99-2.99 =(1.99+2.99)-(1.99-2.99)=4.98×(-1)=-4.98
2222
(2)80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5 =80×(3.5+2×3.5×1.5+1.5) =80×
2
(3.5+1.5) =2000
1812?612(186?61)(186?61)242?120121 (3)=== 22301?181(301?108)(301?108)482?120241(4)1297×5%-897×5%=(1297-897)×5%=400×5%=20.
解后反思:化零为整是计算的技巧之一,要认真掌握.
配套练习4:(1) 869的36%,加上869的54%,和是多少?
22222
(2)计算:100-99+98-97+……+2-1 答案: (1)782.1;(2)5050
222
例5、已知a、b、c为三角形三边,且满足a+b+c-ab-bc-ac=0 ,试说明该三角形是等边三角形.
精析:联系完全平方公式中各项特征.
222222
解:∵a+b+c-ab-bc-ac=0,∴2(a+b+c-ab-bc-ac)=0,
222222222
∴a+b-2ab+b+c-2bc+a+c-2ac=0,∴(a-b)+(b-c)+(a-c)=0,
222
又因为(a-b)≥0,(b-c)≥0,(a-c) ≥0, 所以 a-b=0,b-c=0,a-c=0,所以a=b=c 所以此三角形为等边三角形.
规律探究:本题是一道因式分解与三角形综合的探索性题目,解题关键在于恰当分组后,应用非负数的性质使问题得到解决.
配套练习5:(1)已知:a+b-a+4b+4
(2)已知a+b=2,ab=?2
2
1=0,求a、b的值. 412222
,求a+b, a-ab+b的值. 2112222
答案:(1)a=,b=-2;(2)a+b=5,a-ab+b=5
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因式分解的应用
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