两式相加得ln(x1?x2)?lnx1?lnx2?lnx1x2?x1?x2?x1x2 【练习13】设函数f(x)?x?bln(x?1)，其中b?0. （1）若b??12，求f(x)在[1,3]的最小值；
（2）如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围； （3）是否存在最小的正整数N，使得当n?N时，不等式ln2n?1n?1?3恒成立. nn29.
0【范例14】如图在三棱锥S?ABC中?ACB?90，SA?面ABC，AC?2，BC?13，SB?（1）证明SC?BC。
（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。 （3）求异面直线SC与AB所成角的大小。
S B A C 【错解分析】对面面角，线面角的问题，我们应该先找出角，然后去证明，而不能只有计算出的结果。 解：（1）∵∠SAB=∠SCA=900
?SA?AB?SA?面ABCSA?AC0AB?AC?A
由于?ACB?90即BC?AC由三重线定理得SC?BC（2）QBC?ACBC?SC
??SCA是侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角在Rt?SCB中,由于BC?13.SB?29SC?4在Rt?SAC中由于AC?2AC1?COS?SCA??SC2??SCA?600即侧面SBC与底面ABC形成的二面角的大小为600（3）过C作CD//BA.过A作AD//BC交点为D.
SC?4
则四边形ABCD是平行四边形?DC=AB=AC2?BC2?17又SA?SB2?AB2?23.SD?SA2?AD2?5 故在?SCD中,COS?SCD=17176
?SC与AB所成角的大小为arccos17 17
【练习14】如图， 正方形ABCD和ABEF的边长均为1，且它们所在的平面互相垂直，G为BC的中点．
（1）求点G到平面ADE的距离；
F （2）求二面角E?GD?A的正切值．
x2y2+=1的左、右焦点., E 【范例15】设F1、F2分别是椭圆54（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值
A D C B 和最小值；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【错解分析】化归思想，消元思想是数学中的两大思想，要能彻底领悟，才是数学学习的最高境界。
G 解：（1）易知a?5,b?2,c?1,?F1?(?1,0),F2(1,0)
22设P（x，y），则PF1?PF2?(?1?x,?y)?(1?x,?y)?x?y?1
x2?4?421x?1?x2?3 55?x?[?5,5]，
?当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值3；
当x??5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值4
（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l
与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k 直线l的方程为y?k(x?5)
?x2y2?1??由方程组?5，得(5k2?4)x2?50k2x?125k2?20?0 4?y?k(x?5)?依题意??20(16?80k)?0，得?255?k? 55当?55?k?时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)， 55x1?x250k225k2,x0??2则x1?x2?
25k2?45k?4
7
25k2?20k?y0?k(x0?5)?k(2?5)?2.
5k?45k?4又|F2C|=|F2D|?F2R?l?k?kF2R??1
?k?kF2R20k)220k25k?4?k????1
25k24?20k21?25k?40?(?∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|【练习15】已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
6，两条准线间的距离为6，椭圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零3的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C. （1）求椭圆W的方程；
uuuruuur（2）求证：CF??FB (??R)；
（3）求?MBC面积S的最大值.
练习题参考答案：
MFCOAByx1．B 2． C 3．C 4．C 5．A 6．C 7 ．1 8．（4） 9．相交 10. 2 11.
1 12. ④ 613. 解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(?1,??)，
122x2?2x?12??0，得x?2（x??3舍去）， b??12时，由f(x)?2x?x?1x?1//当x?[1,2)时，f(x)?0，当x?(2,3]时，f(x)?0，
/所以当x?[1,2)时，f(x)单调递减；当x?(2,3]时，f(x)单调递增， 所以f(x)min?f(2)?4?12ln3
b2x2?2x?b??0在(?1,??)有两个不等实根， （2）由题意f(x)?2x?x?1x?1/即2x?2x?b?0在(?1,??)有两个不等实根，
2 8
???4?8b?01设g(x)?2x?2x?b，则?，解之得0?b?；
2?g(?1)?02（3）对于函数f?x??x?ln(x?1)，
2令函数h?x??x?f(x)?x?x?ln(x?1),
33213x3?(x?1)2?则h?x??3x?2x?， x?1x?1/2?当x?[0,??)时，h/?x??0
所以函数h?x?在[0,??)上单调递增，又h(0)?0,?x?(0,??)时，恒有h?x??h(0)?0 即x?x?ln(x?1)恒成立. 取x?231111?(0,??)，则有ln(?1)?2?3恒成立. nnnn111?1)?2?3恒成立 nnn显然，存在最小的正整数N=1，使得当n?N时，不等式ln(14．解：（1）∵BC∥AD， AD?面ADE,
∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离． 连BF交AE于H，则BF⊥AE，又BF⊥AD． ∴BH即点B到平面ADE的距离．
2在Rt△ABE中，BH?．
22∴点G到平面ADE的距离为．
2（2）过点B作BN⊥DG于点N，连EN， 由三垂线定理知EN⊥DN．
∴?ENB为二面角E?GD?A的平面角． 在Rt△BNG中，sin?BGN?sin?DGC? F E O H A D C B G 25 5∴BN?BGsin?BGN?1255?? 255则Rt△EBN中，tan?ENB?BE?5 BN所以二面角E?GD?A的正切值为5．
x2y215．解：（1）设椭圆W的方程为2?2?1，由题意可知
ab
9
?c6?,?a3??222?a?b?c,解得a?6，c?2，b?2， ?2a?2??6,?c?x2y2??1． 所以椭圆W的方程为62a2??3，所以点M坐标为(?3,0).于是可设直线l 的方程为（2）解法1：因为左准线方程为x??cy?k(x?3)．
?y?k(x?3),?222222(1?3k)x?18kx?27k?6?0. 得?xy?1??2?6由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知
??(18k2)2?4(1?3k2)(27k2?6)?0，解得k2?设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2),
2． 3?18k227k2?6则x1?x2?，x1x2?，y1?k(x1?3)，y2?k(x2?3)．
1?3k21?3k2因为F(?2,0)，C(x1,?y1)，
uuuruuur所以FC?(x1?2,?y1)，FB?(x2?2,y2).
又因为(x1?2)y2?(x2?2)(?y1)?(x1?2)k(x2?3)?(x2?2)k(x1?3)
54k2?12?90k2?k[2x1x2?5(x1?x2)?12]?k[??12] 221?3k1?3kk(54k2?12?90k2?12?36k2)??0，
1?3k2uuuruuur所以CF??FB．
a2??3，所以点M坐标为(?3,0). 解法2：因为左准线方程为x??c于是可设直线l的方程为y?k(x?3)，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2),
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