高中数学选修2-1课时作业
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
基础过关
x2y2
1.已知点(3，2)在椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上，则( ) A.点(－3，－2)不在椭圆上 B.点(3，－2)不在椭圆上 C.点(－3，2)在椭圆上
D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3，2)是否在椭圆上 [解析] 由椭圆的对称性知(－3，2)必在椭圆上. [答案] C
2.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( ) 3A.2
3 B.4
2
2
2C.2
2
2 D.3
y21
[解析] 将椭圆方程x＋4y＝1化为标准方程x＋1＝1，则a2＝1，b2＝4，即a
4＝1，c＝[答案] A
x22
3.椭圆4＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为( ) 3A. 2
B.3
7C. 2
D.4
3c3
a2－b2＝2，故离心率e＝a＝2. x22
[解析] 由4＋y＝1知，F1，F2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，即点P的横
11
坐标为xP＝－3，代入椭圆方程得|yP|＝2，∴|PF1|＝2. ∵|PF1|＋|PF2|＝4， 17
∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－2＝2.
1
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[答案] C
3
4.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(2，0)的椭圆的方程是________.
[解析] 若焦点在x轴上，则a＝2. 3
又e＝2，∴c＝3. ∴b2＝a2－c2＝1， x22
∴方程为＋y＝1.
4若焦点在y轴上，则b＝2. 3b231
又e＝，∴2＝1－＝，
2a44∴a2＝4b2＝16，
x2y2
∴方程为4＋16＝1.
x22x2y2
[答案] 4＋y＝1或4＋16＝1
x22
5.若点O和点F分别为椭圆2＋y＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________. [解析] 设P(x0，y0)，而F(－1，0)，
222
∴|OP|2＋|PF|2＝x20＋y0＋(x0＋1)＋y0.
又
x202
y0＝1－，
2
2
∴|OP|2＋|PF|2＝x20＋2x0＋3＝(x0＋1)＋2≥2.
∴|OP|2＋|PF|2的最小值为2. [答案] 2
6.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： 2
(1)离心率是3，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)设椭圆的标准方程为
2
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x2y2y2x2
a2＋b2＝1 (a>b>0)或a2＋b2＝1 (a>b>0).
c2
由已知得2a＝6，e＝a＝3，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
x2y2x2y2
∴椭圆的标准方程为9＋5＝1或5＋9＝1.
x2y2
(2)设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1 (a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
x2y2
故所求椭圆的标准方程为18＋9＝1.
x2y2
7.已知椭圆C1：100＋64＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
x2y2
解 (1)由椭圆C1：100＋64＝1可得其长半轴长为10，
3
短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心e＝5. y2x2
(2)椭圆C2：100＋64＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端3
点(－8，0)，(8，0)；④离心率：e＝5. 能力提升
8.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )
3
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5－1A.2 3C.2
3－1B.2 D.
5＋12
[解析] 依题意得，4b2＝4ac， b2c
∴a2＝a，即1－e2＝e.
5－1
∴e＋e－1＝0，∴e＝2(舍去负值).
2
[答案] A
x2y2
9.椭圆12＋3＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点P的纵坐标是( ) 3A.±4 2C.±2
3B.±2 3D.±4 [解析] 设椭圆的右焦点为F2，由题意知PF2⊥x轴. 因为a2＝12，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝9，c＝3. 所以点P和点F2的横坐标都为3.
3
故将x＝3代入椭圆方程，可得y＝±2.故选B. [答案] B
x2y21
10.若椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的焦点在x轴上，过点(1，2)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是__________.
[解析] ∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线， ∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
11
设P(1，2)，则kOP＝2.∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(xx2y2
－1)，它与y轴的交点为(0，2).∴b＝2，a＝b＋c＝5，故椭圆的方程为5＋4
2
2
2
4
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＝1.
x2y2
[答案] 5＋4＝1
3
11.若椭圆x2＋my2＝1的离心率为2，则m＝__________.
22y[解析] 方程化为x＋1＝1，则有m>0且m≠1. m1
当m<1，即m>1时，依题意有解得m＝4，满足m>1； 1
当m>1，即0 1m－13 ＝2， 1m11－m 3＝12， 1 解得m＝4，满足0 1 综上，m＝4或4. 1 [答案] 4或4 x2y2 12.已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，过 a2 点E(c，0)的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求椭圆的离心率. 解 由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|， |EF2||F2B|1得|EF|＝|FA|＝2， 11a2 c－c1 从而a2＝2，整理得a2＝3c2. c＋cc3 故离心率e＝a＝3. 13.(选做题)已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0). (1)求椭圆E的标准方程； 5
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