“二元一次不等式组与平面区域”教学设计
【教学目标】 知识与技能：
1．初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。
2．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
3.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域 过程与方法：
1. 培养学生观察、分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、数形结合的数学思想。
2.提高学生“建模”及解决实际问题的能力 情感态度与价值观：
1.通过本节课教学重点培养学生掌握“数形结合”思想，培养学生观察，联想，猜测，归纳等数学能力
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和用数学的意识，激励学生勇于创新
【重点与难点】
（1）重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。
（2）难点：如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的那一侧区域。
【教学准备】
教具：直尺、多媒体设备。 教学过程：
（一）导入新课
（教师活动）设置问题，复习旧知
[提问1]在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|的图形？在此基础上进一步深化，得出下面的问题
[提问2]在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|x-y?6?0}表示什么样x-y?6?0}表示什么样
的图形？
（学生活动）思考、口答 教师提示并板书课题 （二）新课讲授
［尝试探索，获取新知］
（教师活动）设置问题，鼓励同学大胆尝试和猜想，并作点评和小结 （学生活动）思考、尝试、猜想、证明、归纳
［提问］在平面直角坐标系中，所有的点被直线类？
（答：分成了三类：一类是在直线
x-y?6?0分成了几
x-y?6?0上，二是在直线
x-y?6?0的左上方的平面区域内；三是在直线x-y?6?0的右下方
的平面区域内。
［尝试］在平面直角坐标系中，任取一点(x,y)，把它们的坐标代入
x-y?6?0中，其结果是一个实数，或等于０，或小于０，或大于０。多用
几个不同的点的坐标代入，讨论分析后归纳，什么情况下点(x,y)在直线
x-y?6?0上；什么情况下点(x,y)在直线x-y?6?0的左上方；什
么情况下点(x,y)在直线
［猜想］对直线对直线
x-y?6?0的右下方。（学生思考）
x-y?6?0左上方的点(x,y)，x-y?6?0成立；
x-y?6?0上任取一点P(x?,y?)，过点Ｐ
y x-y?6?0右下方的点(x,y)，x?y?6?0成立。
［证明］如图所示，在直线
作平行于x轴的直线y?y?，在此直线上点Ｐ右侧的任意一点(x,y)，都有x?x?,y?y?
所以
x-y?x?-y?
P(x?,y\\\\?){(x,y)x x-y?6?x?-y??6?0 6
即
x-y?6?0 L
因为点P(x?,y?)是直线
x-y?6?0上的任意点，所以，对于直线-6 x-y?6?0右下方的任意点(x,y)，x-y?6?0都成立。
同理，对于直线都成立。
所以，在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|x-y?6?0左上方的任意点(x,y)，x-y?6?0
x-y?6?0}表示直线
x-y?6?0右下方的平面区域；点集{(x,y)|x-y?6?0}表示直
线
x-y?6?0左上方的平面区域。
［归纳］
本结论由学生归纳，但不要求证明。
结论：一般地，二元一次不等式Ax+By+C﹥0在平面直角做辨析中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。
此时，应向学生强调：画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线且要把直线画成实线。 ［小结］
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y），实数Ax+By+C的符号相同，
所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x?,y?)，从Ax??By??C的正负即可判断不等式Ax+By+C﹥0或Ax+By+C﹤0分别表示直线哪一侧的平面区域。概括地说，即为画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界，特殊点定域”。
特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点，即“直线定界，原点定域”。 ［例题示范，变式训练］
（教师活动）投影例题和变式练习，并做讲解和讨论。 例1、 画出不等式x+4y﹤4表示的平面区域。 ［分析］应用“直线定界，原点定域”。的解题方法。 解：略
在讲解完例1 的基础上，引导学生完成一组变式训练题。 变式1：画出不等式x+4y》4表示的平面区域。（强调学生应该把直线画成实线）。
变式2：画出不等式x?1所表示的平面区域
（变式2的不等式有点特殊，看能否将一般问题特殊化） 变式3：不等式
x?2y?6?0表示的平面区域在直线
x?2y?6?0的（ ）
A、左上方 B、右上方 C、左下方 D、右下方 答案：D
?x?y?5?0??x?y?0例2、画出不等式组?表示的平面区域
x?3?（分析与解答详见课本例2，本例采用多媒体演示各个不等式所表示的平面区
域，学生掌握较易，效果更佳）
[归纳]不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式组所表示的平面区域的公共部分。
变式1：画出不等式(x?2y?1)(x?y?4)?0表示的平面区域 提示：不等式
(x?2y?1)(x?y?4)?0是由不等式组
?x?2y?1?0?x?2y?1?0和??所组成的
?x?y?4?0?x?y?4?0变式2：由直线x?y?2?0,x?2y?1?0和2x?y?1?0围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
（变式2主要训练学生逆向思维） （三）小结（师生共同完成）
1、二元一次不等式Ax?By?C?0表示的平面区域分以下几种情况： （1）当C?0时，不等式Ax?By?C?0表示的平面区域在直线
Ax?By?C?0哪一侧，由C的值可以确定，它采用“直线定界，原点定域”的画图方法
（2）当C=0时，不等式Ax?By?0表示的平面区域采用“直线定界，特殊点定
域”的画图方法
①A与B都不等于0，常把点（1，0）或（0，1）代入检验，来确定不等式表示的平面区域
②A=0，B>0，不等式表示的平面区域为x轴上侧； A=0，B<0，不等式表示的平面区域为x轴下侧。 ③B=0，A>0,不等式表示的平面区域为y轴右侧 B=0，A<0，不等式表示的平面区载为y轴左侧。
2、画二元一次不等式（组）所表示的平面区域应注意的事项：
（1）画不等式Ax?By?C?0表示的平面区域时，直线应画成虚线。 （2）画不等式Ax?By?C?0表示的平面区域时，直线应画成实线
（3）画不等式组表示的平面区域，应找出各个不等式所表示的平面区域的公共
部分。
（四）布置作业 （五）课后点评
1、这节课安排了“导入新课”、“尝试探索”、“例题示范”、“变式训练”、“小
结”和“布置作业”等几个教学环节，它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从而实现教学目的要求，完成教学任务的一种教学方法。 2、这节课是有一定难度的概念作图课。设计这堂课，从开始到结束几乎所有的教学环节，都是围绕着集合、化归、数形结合的数学思想方法这一主题来展开的。这是因为用集合的观点和语言来分析和描述几何图形问题常能使问题更加清楚、准确。本教案充分注意了运用这种观点和语言去分析直线和二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
3、着重培养学生掌握数学的基本思想的提高学生的能力是设计这堂课的出发点，事实上，本节课涉及最多的数学思想是“数形结合”，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的。
二元一次不等式组(组)与平面区域教学设计
