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习题
9-5.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2.
解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 F??(k1?k2)x 根据牛顿第二定律有
d2x F??(k1?k2)x?ma?m2
dt 化简得
d2xk1?k2x?0 2?dtmk1?k2d2x2令??则2??x?0所以物体做简谐振动，其周期
dtm2
T?2???2?m k1?k29-6 如图所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，点偶极子所受力矩为 M??qE点偶极子对中心O点的转动惯量为
llsin??qEsin???qElsin? 222?l??l?1J?m???m???ml2
?2??2?212d2?M??qElsin??J??ml?2
2dt2由转动定律知
化简得
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d2?2qE?sin??0 dt2ml2当角度很小时有sin???，若令??2qE，则上式变为 ml
d2???2sin??0 2dt所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为 T?2???2?ml 2qE9-7 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在v?1.3Hz 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？ 解 汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为T?2?m，频k率为v?11?T2?k m正常载重时弹簧的压缩量为
mgT2gx??2g?22?0.15(m)
k4?4?v9-8 一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图所示。开始棒在平衡
，
位置OO处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。
解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为?，并规定细棒在平衡位置向右时?为正，在向左时为负，则力矩为
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1M??mglsin?
2负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为J?12ml,根据转动定律有 3
112d2?M??mglsin??J??ml
23dt2化简得
d2?3g?sin??0 2dt2l当?很小时有sin???，若令??23g则上式变为 2l
d2???2sin??0 2dt所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为
T?2???2?2l 3g?29-9 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅A?2?10m，周期T?0.50s，当t=0时，求以下各种情况的振动方程。 （1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点；
(3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向正方向运动; (5)物体在x?1.0?10m处向负方向运动 (6)物体在x??1.0?10m处向正方向运动。 解 由题意知A?2.0?10m,T?0.5s,???2?2?22??4?s?1 T（1）由初始条件得初想为是?1?0,所以振动方程为
x?2?10?2cos4?(m)
（2）由初始条件得初想为是?2??，所以振动方程为
x?2?10?2cos(4?t??)(m)
（3）由初始条件得初想为是?3??2，所以振动方程为
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大物B课后题09第九章振动学
