拉格朗日中值定理在高考题中妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

一．拉格朗日中值定理[1]

拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件： （i）f在闭区间[a,b]上连续；（ii）f在开区间(a,b)内可导； 则在?a,b?内至少存在一点?，使得 f'????f?b??f?a?b?a

.

几何意义：

在满足定理条件的曲线上y?f(x)至少存在一点p(?,f(?))，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB（如图）

二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用

由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 2a2例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数f(x)?x??alnx.

x（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）设a?1,g(x)?f'(x),问是否存在实数k，使得函数g(x)上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由. 解（Ⅰ）略（Ⅱ）当a?1时，g(x)?1?21?，假设存在实数k，使得的图象上任意不同两x2xg(x2)?g(x1)?k,即求任意两点割线斜

x2?x1点连线的斜率都不小于k，即对任意x2?x1?0，都有率的大小，由中值定理知存在x?(x1,x2)，有g'(x)?即g'(x)?g(x2)?g(x1)?k,转为求切线斜率的大小.

x2?x141??k在(0,??)上恒成立.（以下同参考答案） x3x2g(x2)?g(x1)?k,转

x2?x1评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将

化为g(x2)?kx2?g(x1)?x1,转而考查函数h(x)?g(x)?kx，学生不是很容易想到， 但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．

二． 利用拉格朗日中值定理证最值 （1）证

f?b??f?a?b?a??或

f?b??f?a?b?a??

-------------即证f'???与?的大小关系

例2：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx,a?1 2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：若a?5，则对任意x1,x2??0,???，x1?x2，有（Ⅰ）略；（Ⅱ）要证

f(x1)?f(x2)??1.

x1?x2f(x1)?f(x2)a?1??1成立，即证f'??????a???1.

x1?x2?2令g?????2?(a?1)??a?1，则???a?1??4?a?1???a?1??a?5?.由于1?a?5，所以??0.从而g????0在R恒成立.也即?2?a??a?1???.又???x1,x2?，x1,x2??0,???，故??0.则f(x1)?f(x2)?2?a??a?1a?1??1. ??1，即f'??????a???1，也即

x1?x2?? 评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数g?x??f?x??x.为什么考虑函数

g?x??f?x??x很多考生一下子不易想到.而且g'?x?的放缩也不易想到.

（2）、证明

f?x?x?a或

f?x?x?a成立（其中x?0，f(0)?0）

f?x??f(0)x?0?a或

f?x??f(0)x?0?a

----------即证例3：（2007年高考全国卷I第20题） 设函数f?x??ex?e?x.[2]

（Ⅰ）证明：f?x?的导数f'?x??2；

（Ⅱ）证明：若对所有x?0，都有f?x??ax ，则a的取值范围是(??,2]. （Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当x?0时，对任意的a，都有f?x??ax

f?x??f?0?ex?e?xex?e?x(ii)当x?0时，问题即转化为a?对所有x?0恒成立.令G?x??，?xxx?0由拉格朗日中值定理知?0,x?内至少存在一点?（从而??0），使得f'????f?x??f?0?x?0，即

G?x??f'????e??e??，由于f''????e??e???e0?e?0???0?，故f'???在?0,x?上是增函数，

让x?0 得G?x?min?f'????e??e???f'?0??2，所以a的取值范围是(??,2].

评注：用的是初等数学的方法.即令g?x??f?x??ax，再分a?2和a?2 两种情况讨论.其中，a?2又要去解方程g'?x??0.但这有两个缺点：首先，为什么a的取值范围要以2为分界展开.其次，方程g'?x??0求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.

例4：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数f?x??sinx.

2?cosx（Ⅰ）求f?x?的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x?0，都有f?x??ax，求a的取值范围. 证明（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证明：当x?0时，显然对任何a，都有f?x??ax；当x?0时，由拉格朗日中值定理，知存在???0,x?，使得

f'?x??2cosx?1f?x?x?f?x??f?0?x?0

f?x?x2?f?x??f?0?x?0?f'???.由（Ⅰ）知

?2?cosx?2，从而f''?x??2sinx?2?cosx??cosx?1??2?cosx?.令f''?x??0得，

x??x??令f''?x??0得，??2k?1??,?2k?2????；?2k?,?2k?1????.所以在???2k?1??,?2k?2????上，

f'?x?的最大值f'?x?max?f'??2k?2????1'在 ??2k?,?2k?1????上，f?x?的最大值3f'?x?max?f'?2k???'112k?,2k?2??.从而函数f'?x?在?上的最大值是.k?Nfx???????max33'知，当x?0时，f'?x?的最大值为f?x?max?11.所以，f'???的最大值f'???max?.为了使33?1?f'????a恒成立，应有f'???max?a.所以a的取值范围是?,???.

?3?评注：这道题的参考答案的解法是令g?x??ax?f?x?,再去证明函数g?x?的最小值

g?x?min?0.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a,要对参数a进行

分类讨论;其次为了判断g?x?的单调性,还要求g'?x??0和g'?x??0的解,这个求解涉及到反

余弦arccos3a,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.

三．利用拉格朗日中值定理证不等式

近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力． 下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势． （1）用于证明f?b??f?a?与b?a的大小关系 例5：(2006年四川卷理第22题) [3]

2已知函数f?x??x2??alnx(x?0),f?x?的导函数是f'?x?，对任意两个不相等的正x1,x2，

x证明：（Ⅱ）当a?4时，f'?x1??f'?x2??x1?x2.

22a证明： 由f?x??x2??alnx得，f'(x)?2x?2?，令g?x??f'?x?则由拉格朗日中

xxx值定理得：g?x1??g?x2??g'???(x1?x2)

下面只要证明：当a?4时，任意??0,都有g'????1，则有g'?x??2?a?4时，a?x2?4a?2?1，即证3xx44422恒成立.这等价于证明x2?的最小值大于4.由x2??x2???334，xxxxx4a??1恒成立.所以由拉x3x2当且仅当x?32时取到最小值，又a?4?334，故a?4时，2?格朗日定理得：g?x1??g?x2??g'???(x1?x2)?g'???x1?x2?x1?x2.

评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性. ?a?b?（2）证明g?a?，g??，g?b?三者大小的关系 2??例6：（2004年四川卷第22题）[3]

已知函数f?x??ln(1?x)?x,g?x??xlnx.（Ⅰ）求函数f?x?的最大值； ?a?b?（Ⅱ）设0?a?b?2a，证明：g?a??g?b??2g???(b?a)ln2.

?2?证明（Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：依题意，有g'?x??lnx?1，

??a?b??a?b???a?b?g?a??g?b??2g???g?b??g????g???g?a?? 由拉格朗日中值定理得，

?2??2???2???a?b??a?b?存在???a,,b?，使得?,???22?????b?ab?a?a?b???a?b?'' g?b??g???ln??ln??????g???g?a????g????g?????22?2???2???ln?b?abb?a4ab?a??ln??ln???b?a?ln2 ?2a2a2?a?b??a?b?评注：对于不等式中含有g?a?,g?b?,g?我们往往可以把g???a?b?的形式，??g?a?22?????a?b??a?b??a?b?和g?b??g??，分别对g???g?a?和g?b??g??两次运用拉格朗日中值定理. 222??????例7：(2006年四川卷理第22题)

2已知函数f?x??x2??alnx(x?0),f?x?的导函数是f'?x?，对任意两个不相等的正数

x（Ⅰ）当a?0时，x1,x2，证明：

f?x1??f?x2?2?x?x?f?12?2?? ????f?x1?．由拉格朗日中值定?x?x?x?x?f?12??f'??2??21，

2?2?证明：（Ⅰ）不妨设x1?x2，即证f?x2??f?理知，存在?1??x1,??x1?x22?x1?x2?2??x1?x2??f?2????x1?x2?则?1??2且f?x2??,???2?2,x2?，

???x?x2a4a?x?x?f?12??f?x1???f'??1??21又f'(x)?2x?2?， f''?x??2?3?2.当a?0时，

2xxxx?2?f''?x??0.所以f'(x)是一个单调递减函数，故f'??1??f'??2?从而

?x?xf?x2??f?12?2??x1?x2?f??2?????f?x1?成立，因此命题获证． ?四：利用拉格朗日定理证明根的存在[4]

证明方程根的存在性,所给根的范围就是区间?a,b?把所给方程设为函数f(x)就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性,一般用反证法.

例1 设f(x)在?0,1?可导,且0?f(x)?1,又对于(0,1)内所有的点有f'(x)??1证明方程f(x)?x?1?0在(0,1)内有唯一的实根.

分析:要证明方程有唯一的实根,分两步证明,先证明有根,再证明根是唯一的 证明:先证方程有根,

令g(x)?f(x)?x?1,又因为0?f(x)?1,则g(0)?f(0)?1?0,g(1)?f(1)?0,得到g(0)·g(1)< 0.

所以,函数g(x)在(0,1)内至少有一个实根.

再证唯一性；假设方程f(x)?x?1?0在(0,1)内有两个实根?,?不妨设为0?????1,

则有f(?)?1??,f(?)?1??,对函数f(x))在??,??上运用拉格朗日中值定理有 f(?)?f(?)?f'(?)(???).因此f'(?)?f(?)?f(?)?1?????1??????1 ??????这和已知条件f'(x)??1矛盾.所以方程f(x)?x?1?0在(0,1)内有唯一的实根.