函数的概念知识点总结(含例题和答案)

由天下分享时间：2024/11/30 11:42:35 加入收藏我要投稿点赞

函数的概念总结

一、知识梳理 1．映射的概念：

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为

f:A?B，f表示对应法则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；

⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y?f(x),x?A

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 (3)函数的定义域、值域：

在函数y?f(x),x?A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y?f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合?f(x)x?A?称为函数y?f(x)的值域。 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、考点分析考点1：映射的概念

例1．（1）A?R，B?{y|y?0}，f:x?y?|x|；

（2）A?{x|x?2,x?N*}，B??y|y?0,y?N?，f:x?y?x2?2x?2；（3）A?{x|x?0}，B?{y|y?R}，f:x?y??x．上述三个对应是A到B的映射．

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例2．若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个

例3．设集合M?{?1,0,1}，N?{?2,?1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（）

(A)8个(B)12个(C)16个(D)18个

答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D

考点2：判断两函数是否为同一个函数

方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f(x)?x，g(x)?x；（2）f(x)?233x?1，g(x)??x??1x?0,x?0;

2n?1（3）f(x)?2n?1x2n?1，g(x)?(2n?1x)（n∈N*）；（4）f(x)?xx?1，g(x)?x2?x；

（5）f(x)?x2?2x?1，g(t)?t2?2t?1

[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点3：求函数解析式方法总结：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数f(x)满足f(2x?1)?4x2?6x?5，求f(x)

1?x1?x2

)=例2．（09湖北改编）已知f(，则f(x)的解析式可取为 1?x1?x2

题型2：求抽象函数解析式

1例1：已知函数f(x)满足f(x)?2f()?3x，求f(x):

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考点4：求函数的定义域

基本初等函数包含：指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数。题型1：求有解析式的函数的定义域

方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意： ①分母不能为0； ②对数的真数必须为正；

③偶次根式中被开方数应为非负数； ④零指数幂中，底数不等于0； ⑤负分数指数幂中，底数应大于0；

⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；

⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（08年湖北）函数f(x)?1ln(x2?3x?2??x2?3x?4)的定义域为() xA.(??,?4)?[2,??);B.(?4,0)?(0,1)；C.[,?4,0)?(0,1];D.[,?4,0)?(0,1) 答案：D

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（2007·湖北）设f?x??lg2?xx??2?，则f????f??的定义域为（） 2?x?2??x?A.??4,0???0,4?；B.??4,?1???1,4?；C.??2,?1???1,2?；D.??4,?2???2,4? 答案：B.

例2．已知函数y?f(x)的定义域为[a，b]，求y?f(x?2)的定义域例3．已知y?f(x?2)的定义域是[a，b]，求函数y?f(x)的定义域

例4．已知y?f(2x?1)的定义域是（-2，0），求y?f(2x?1)的定义域(-3

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考点5：求函数的值域 1.求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数y??sin2x?2cosx?4，可变为y??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

2如函数y?log1(?x?2x?3)就是利用函数y?log1u和u??x2?2x?3的值域来求。

22（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y?3?133?132x?1[,] 的值域

22x2?2x?2（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y?为

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y?3x的值域 2x?42cosx?3的值域，因

cosx?1（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（－48）