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习题6
6-1．设固有长度l0?2.50m的汽车，以v?30.0m/s的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？ 解：l?l01?(u2c2) ，由泰勒展开，知1?x?1?2212x?L 2221u1u?14?l?l?l?l??1.25?10m。 ∴1?(u2)?1?，0022c2c2c
6-2．在参考系S中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了
x?1.5?108m处，经历时间为?t?1.00s，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S?系，u??x/?t?0.5c
利用?t???t1?(uc)有：
221.5?1082 ?t??1?()?0.866s。
3?108
6-3．从加速器中以速度v?0.8c飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。
解：设加速器为S系，离子为S?系，利用：vx?v?x?u， uv?1?2xc则：vx?v?c?0.8cx?u??c 。 uv?0.8c?c1?2x1?c2c
6-4 1000m的高空大气层中产生了一个π介子，以速度v?0.8c飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命2.4×10s，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀： 有?t??6?t'u21?2c，∴?t?2.4?106(0.8c)21?c2?6?4?10?6sa
由l?v?t?0.8?3?10?4?108?960m?1000m，∴到达不了地球；
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（2）?介子静止系中的观测者认为长度收缩：
u2(0.8c)2有l?l01?2，∴l?10001??600m 2cc而s?v?t?2.4?10?0.8?3?10?576m?600m，∴到达不了地球。
6-5 长度l0?1m的米尺静止于S'系中，与x′轴的夹角?'=30°，S'系相对。试求：S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为??45°
（1）S'系和S系的相对运动速度。（2）S系中测得的米尺长度。 解：（1）米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：
?68???L0cos???0.866m，L?Lxy?L0sin??0.5m。
米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方
v2?1?2，Ly?L?向收缩，而y方向的长度不变，即：Lx?Lxy
c故 ：tan??LyLx?L?yLx?L?y?1?Lxvc22。
v20.5把??45及L?,L?代入，则得：，故 ：v?0.816c 1??yc20.866ο(2)在S系中测得米尺长度为L?
Lysin45??0.707m 。
6-6 一门宽为a，今有一固有长度l0(l0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少？ 解：门外观测者测得杆长为运动长度，l?l01?()，当
uc2l?a时，可
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认为能被拉进门，则：a?l01?() uc2解得杆的运动速率至少为：u?c1?()
6-7 两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇？
解： O测得相遇时间为?t：?t?al02L020 ?v0.6cL01??2?8.89?10?8s， ?O? 测得的是固有时?t?：∴ ?t???v?t
或者，O?测得长度收缩：L?L01??2?0.8L0
?t??0.8L00.8?20??8.89?10?8s 80.6c0.6?3?10
6-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路
程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少？ 解： 由长度缩短公式得：l??l01??2?1??2?34，v?c
55
6-9．两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。
解：设宇宙船A为S系，测得恒星的速度为vx?0.8c，宇宙船B为S?系，
'??0.8c，两个飞船的相对速度为u， 测得恒星的速度为vx'vx?u根据洛伦兹速度变换公式：vx?，有： 'uvx1?2c?0.8c?u0.8c? 得：u?0.976c 。
?0.8cu1?c2
6-10．从S系观察到有一粒子在t1?0时由x1?100m处以速度v?0.98c精品文档
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沿x方向运动，如在S?系(相对S系以速度u?0.96c沿x10s后到达x2点，
?,x1?,t2?,x2?各为多少？方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标t1(t?t??0时，S?与S的原点重合)，并算出粒子相对S?系的速度。
ux2x?utc解：利用洛仑兹变换：t??，x??，
221?(u2)1?(u2)cct?考虑到1?(u2c2)?1?0.962?0.28，有：
u0.96cx0??100212cct1?????1.147?10?6s； 21?(0.96c)21?(u2)ccu0.96ct2?2x210?2?9.8ccc??t2??2.11s； 21?(0.96c)21?(u2)ccx1?ut1100?0.96c?0??x1??357.14m；
221?(0.96c)1?(u2)ccx2?ut29.8c?0.96c?10??x2??2.14?108m；
21?(0.96c)21?(u2)ccv?u0.98c?0.96c'vx?x??1.014?108m/s 。
u0.96c1?2vx1?2?0.98ccct1?
6-11．一飞船静长l0，以速度u相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为v，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。
解：设恒星系为S系，飞船为S?系，由题意：?t??l0， vuu?x?u???x?t(1?)l(1?v)0222cc?t??c∴?t?。 ?2221?(u2)1?(u2)v1?(u2)ccc?t??
??06-12．一个静止的K介子能衰变成一个π介子和一个π介子，这两个π介子的速率均为0.85c．现有一个以速率0.90c相对于实验室运动的K介子精品文档
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