2.4.2 空间两点的距离公式
一、基础过关
1． 若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为
( ) A.61
B．25
C．5
D.57
2． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角
线AC1的长为 A．9
( )
B.29 C．5 D．26
3． 已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于
( ) A.
53
4
B.
53 2
53
C. 2
D.
13 2
4． 到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足
( )
A．x＋y＋z＝－1 C．x＋y＋z＝1
B．x＋y＋z＝0 D．x＋y＋z＝4
5． 若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．
?35?6． 已知P?，，z?到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝
?22?
________.
7． 在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小． 8． 如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(
31，， 22
0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的 长度． 二、能力提升
9． 已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是
( )
A．A、B、C三点可以构成直角三角形 B．A、B、C三点可以构成锐角三角形 C．A、B、C三点可以构成钝角三角形 D．A、B、C三点不能构成任何三角形
10．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为
1
( ) A．19 8
C. 7
8B．－
719D. 14
11．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与
到B的距离相等，则M的坐标是________．
12．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1
上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的 距离． 三、探究与拓展
13．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，
点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ 2)． (1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
2
答案
1．C 2.B 3.B 4.B 5．x＋z－y＝0 6．0或－4
7．解 ∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上， ∴可设M(x,1－x,0)． ∴|MN|＝＝2
2
2
2
x－6
2
2
＋1－x－5
2
＋0－1
2
x－1＋51≥51，当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51. 8．解 由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)， 设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°， ∴BD＝2，CD＝23，z＝3，y＝－1. ∴D(0，－1，3)．又∵A(
32
31
，，0)， 22
2
∴|AD|＝9．A 10．C 11．(0，－1,0)
2
＋
1＋12
＋－3
2
＝6.
12．解 如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，
D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)， ∵N为CD1的中点，
?3?∴N?，3，1?. ?2?
M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)． 由两点间距离公式，得 |MN|＝
?3－1?2＋3－1
?2???
2
＋1－2
2
＝
21
. 2
13．解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD， ∴AB、BC、BE两两垂直． 过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
3
垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB. ∵CM＝BN＝a， ∴CH＝MH＝BG＝GN＝
22
a， ∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则
M??2
?2
a，0，1－22a???，
N?
?2?2a，22a，0?
??
.
(1)|MN|＝
??22?2??2a－2a??＋??0－22a??2?＋???1－2?2
2a－0??
＝a2
－2a＋1＝?
??
a－2?212??＋2，
(2)由(1)得，当a＝2
2
时，|MN|最短， 最短为
2
2
，这时M、N恰好为AC、BF的中点． 4
【步步高】高中数学 第二章 2.4.2空间两点的距离公式基础过关训练 新人教B版必修2
