重积分的计算方法

重积分的计算方法

重积分的计算方法

重积分包括二重积分与三重积分,它就是定积分的推广;被积函数由一元函数f(x)推广为二元函数f(x,y),三元函数(fx,y,z);积分范围由数轴上的区域推广为平面域(二重积分)与空间域(三重积分)。我个人在学习与复习多重积分这一块时,感到多重积分的计算比较繁琐,而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点,重积分的计算方法还就是有规律可循的。为了更好的应用重积分,本人结合前人的经验,在这里介绍几种常用的重积分计算方法,以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一. 二重积分的计算 1.常用方法

(1) 化累次积分计算法

对于常用方法我们先瞧两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法,即把一个二重积分表达为一个二次积分,通过两

重积分的计算方法

次定积分的计算求得二重积分值,分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下: 第一步:画出积分区域D的草图;

第二步:按区域D与被积函数的情况选择适当的积分次序,并确定积分的上、下限; 第三步:计算累次积分。

需要强调一点的就是,累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简,有些题这两种次序的难易程度可以相差很大,甚至对一种次序可以“积出来”,而对另一种次序却“积不出来”。所以,适当选择积分次序就是个很重要的工作。

选择积分次序的原则就是:尽可能将区域少分块,以简化计算过程;第一次积分的上、下限表达式要简单,并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 (2) 变量替换法

着重瞧下面的例子:

重积分的计算方法

在计算定积分时,求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时,求积的困难来自两个方面,除了被积函数的原因以外还在而且,有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处就是可以把被积函数的形状进行转化,以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此,针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 (3)极坐标变换公式(主要就是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ)