1．如图，直线l1//l2//l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若?ABC?90?，BD?4，且
m2?，则n3m?n的最大值为 ．
2．如图，Rt?ABC中，?C?90?，AC?12，点D在边BC上，CD?5，BD?13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的P与?ABC的一边相切时，AP的长为 ．
3．如图，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF?CD，?ABC内接于O，AB是O的直径，AC?CE，连接AF．
（1）判断直线AF与O的位置关系，并说明理由． （2）若AC?10，tan?CAE?3，求AE的长． 4
1
4.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由； （2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
5.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i
根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3＝ ，i4＝ ； （2）计算：（3+2i）×（1﹣i）； （3）计算：i+i2+i3+i4+…+i2024．
2
6.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
7.如图，在Rt?ABO中，?OBA?90?，A(4,4)，点C在边AB上，且
AC1?，点D为OB的中点，点P为边CB3OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
8.为落实“美丽扬州”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成该改造工作.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的
3倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天. 2(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，若需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，则至少安排甲队工作多少天？
3
9.扬州某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，若乙团队人数不超过40人，甲团队人数不超过80人，设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？
（3）该景区每年11月、12月为淡季，景区决定在这两个月实行门票打五折的优惠（打折期间不售团体票），以吸引大量游客，提高景区收入；景区经过调研发现，随着接待游客数的增加，景区的运营成本也随之增加，景区运营成本Q（万元）与两个月游客总人数t（万人）之间满足函数关系式：Q?12t?800；两个月游客总4人数t（万人）满足：150?t?200，且淡季每天游客数基本相同；为了获得最大利润，景区决定通过网络预约购票的方式控制淡季每天游客数，请问景区的决定是否正确？并说明理由．（利润?门票收入?景区运营成本）
4
10.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是?ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像?ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC?a，AC?b，AB?c．
特例探索：
（1）∠如图1，当?ABE?45?，c?42时，a?_________，b?________； ∠如图2，当?ABE?30?，c?2时，求a和b的值． 归纳证明：
（2）请你观察⑴中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用⑵中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E,F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求MG2?MH2的值．
5
11.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ ．
12.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=6，则AB的长为_________。
13.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为__________。
6
1【解】 过B作BE?l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN?l2于N，过C作CM?l2于M，设AE?x，CF?y，BN?x，BM?y，BD?4，?DM?y?4，DN?4?x，?ABC??AEB??BFC??CMD??AND?90?， ??EAB??ABE??ABE??CBF?90?，??EAB??CBF，??ABE∽?BFC，?
xmAEBE，即?， ?nyBFCF?xy?mn，?ADN??CDM，??CMD∽?AND，?
m4?x2ANDN3，即??，?y??x?10， ?ny?43CMDM2m2355?，?n?m，?(m?n)最大?m，?当m最大时，(m?n)最大?m， n322210103335032?时，mn最大?mn?xy?x(?x?10)??x2?10x?m2，?当x???m， 33222322?(?)2?m最大?1051025，?m?n的最大值为??． 3233?AB?122?182?613，2【解】 在Rt?ABC中，在Rt?ADC中，?C?90?，AC?12，BD?CD?18，?C?90?，AC?12，CD?5，?AD?AC2?CD2?13，当P于BC相切时，点P到BC的距离?6，过P作PH?BC于
H，则PH?6，?C?90?，?AC?BC，?PH//AC，??DPH∽?DAC，
?PD6PDPH，??，?PD?6.5，?AP?6.5；当P于AB相切时，点P到AB的距离?6， ?1312DAAC过P作PG?AB于G，则PG?6，
? AD?BD?13，??PAG??B，?AGP??C?90?，??AGP∽?BCA，
AP6APPG，??，?AP?313，CD?5?6，?半径为6的P不与?ABC的AC边相切， ?ABAC613123【解析】（1）直线AF是O的切线，理由是：CF?CD，??CAF??EAC，
AB为O直径，??ACB?90?，?AC?BC，
AC?CE，??E??EAC，?B??E，??B??FAC，
?B??BAC?90?，??FAC??BAC?90?，?OA?AF，又点A在O上，?直线AF是O的切线；
（2）过点C作CM?AE，tan?CAE?3CM3，??，4AM4AC?10，?设CM?3x，则AM?4x，
在Rt?ACM中，根据勾股定理，CM2?AM2?AC2，?(3x)2?(4x)2?100，解得x?2，?AM?8， AC?CE，?AE?2AM?2?8?16．
7
4【解】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝
，∴P（2，
）， ，∴y＝
，由正六边形的性质，A（1，2
），∴点A在反比例函
∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2数图象上；
（2）D（3，0），E（4，
），设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，
联立方程（3）E（4，F（1，2
解得x＝
），F（3，2
，∴Q点横坐标为；
），
），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，
），则点E与F都在反比例函数图象上；
（1）i3＝﹣i，i4＝1，故答案为：﹣i，1； 5【解析】
（2）（3+2i）×（1﹣i）＝3×1﹣3×i+2i×1﹣2i×i＝3﹣3i+2i﹣2i2＝3+（﹣3+2）i+2＝5﹣i； （3）原式＝i﹣1﹣i+1+i﹣1﹣i+1+…﹣i+1＝（i﹣1﹣i+1）×505＝0． 6【解】平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，∠tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a， 则O′B=
，O′D′=
，BD′=3a，
作BE∠O′D′于点E，由三角形的面积公式得：BE=，∠O′E=
，∠tanBO′E=，∠tan∠BOD=3.
7【解】在Rt?ABO中，?OBA?90?，A(4,4)，?AB?OB?4，?AOB?45?，
AC1?，点D为OB的中CB3点，?BC?3，OD?BD?2，?D(2,0)，C(4,3)，作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P， 则此时，四边形PDBC周长最小，E(0,2)，直线OA 的解析式为y?x，设直线EC的解析式为y?kx?b，8?1x???y?x??b?21?88?k??3??，解得：?得，?，?P(，)，． 4，?直线EC的解析式为y?x?2，解?18y?x?2433?4k?b?3???b?2y??4??3?7207203-=4求出x=60，经检验x=60是原方程的解，甲为90，乙为60 8【解】(1)设乙x，甲x可得出x3x228
(2)设至少安排甲队工作m天，乙
2400-90m2400-90m7m+5??195，m≥10答：至少安排甲10天. 6060（1）由题意乙团队人数为?100?x?人，则100?x?40，x?60， 9【解】
当60?x?80时，y?130x?150?100?x???20x?15000；
（2）由（1）甲团队人数不超过80人，∠k??20?0，∠y随x增大而减小，当x?60时，y最大?13800， 当两团队联合购票时购票费用为100?120?12000，
甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约13800?12000?1800元； （3）正确.设利润为W元，根据题意得，W?150?50%t-Q=?∠a??12t?75t?800， 4b1?0，∠抛物线的开口向下，W有最大值，∠t???150，∠150?t?200，W随t的增大而减42a小，∠利润随人数的增大而减小，故景区的决定是正确的． 10【解】如图1、2、3、4，连接EF，则EF是?ABC的中位线， 则EF?1PBPAAB1AB，EF//AB，??EFP∽?BPA，?????∠，
PEPFEF22（1）如图1，在直角三角形能ABP中，PA?PB?ABsin45??4，∠PE?PF?2，
a?b?2BF?2PB2?PF2?45；
∠在图2中，在直角三角形能ABP中，PA?ABsin30??1，PB?ABcos30??3, ∠PE?1311PB?,PF?PA?, 2222则a?2BF?2PB2?PF2?13，b?2AE?2PA2b?PE2?7； （2）关系为：a2?b2?5c2，
11证明：如图3，由∠得：PF?PA，PE?PB，
225?522?则a2?b2?(2BF)2?(2AE)2?4BF2?AE2?4BP2?PF2?AP2?PE2?4?BP?AP?
4?4??????5?BP2?AP2??5c2
（3）在菱形ABCD中,E,F分别为线段AO，DO的中点
11111AE?OE?EC，AG//BC，?AG?BC?AD，则EF?BC?AD，
333229
同理HG?112AD，?GH?AD，?GH?EF，GH//BC，EF//BC，?HG//EF，
333?MG?12111ME?MB，同理：MH?MC，则MG2?MH2?(MB2?MC2)??5?BC2?5． 33993
11【解】作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝
＝3，∵∠EAF＝90°，∴
∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中
3×4＝6． ，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE?DH＝×
，12【解析】如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°AC=BD=6，∵CG=DG，CF=FB，∴GF=
16，∵⊥，∴∠
BD=AGFG22，∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，∴∠DAG=∠CGF，∴AGF=90°
△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，∴
ADDG2ab，∴??，∴b2=2a2，∵a＞0．b＞0，∴b=2GCCFbaa，在Rt△GCF中，3a2=
62，∴
，∴a=AB=2b=2． 4213【解析】 过点C作CF∠BG于F，如图所示：
设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6， 解得：x＝4，∠DE＝4，∠∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝
，
∠∠BCE＝∠DCF＝90°，∠∠DCE＝∠BCF，∠∠DEC＝∠BFC＝90°，∠∠CDE∠∠BCF， ∠
10
，即，∠CF＝．
最新赢在中考每日提优(1)解析版
