2024届河北省邢台市高三上学期第一次摸底考试
数学试卷(理科)
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若z?2?i，则z?z? 1?iA.－1 B.1 C.－3 D.3 2.设集合A?{xx?a},B?{xx?3a?2}，若AA.(1，2) B.(??,1)2B??，则a的取值范围为
(2,??) C.[1，2] D.(??,1][2,??)
3.若曲线y?sin(4x??)(0???2?)关于点(A.
?12,0)对称，则??
2?5?5?11??4??7?或 B. 或 C. 或 D. 或 333666364.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是 A.2x－2y>x2 B.2x?2y?log1(1+x)
2C. 2y－2x>x2 D. 2y?2x?log1(1+x)2x－2y>x2
25.如图，AB是圆O的一条直径，C、D是半圆弧的两个三等分点，则AB?
A.AC?AD B.2AC?2AD C.AD?AC D.2AD?2AC
6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与
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腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，
BC5?1?。根据这些信息，可得sin234°＝ AC2
A.1?253?54?55?1 B.? C.? D.? 4884?2x?2,x?17.若函数f(x)??在(－∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为
?log2(x?1),x?1A.[0，17] B.(－ ∞，17 ] C. [1，17] D. [1，＋∞)
8.如图，图C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A (2，15)，则圆C的半径为
A.72 B.8 C.82 D.10
9.为了配平化学方程式aFeS2?bO2＝＝cFe2O3?dSO2，某人设计了一个如图所示的程序框图，则①②③处应分别填入
点燃 - 2 -
3c?2d3c?2d,c?c?2 B.a?c,b?,c?c?1 333c?2d3c?2dC.a?2c,b?,c?c?2 D.a?2c,b?,c?c?1
22A.a?c,b?10.2024年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡。6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍然留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元(不含过塑费)，且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元。若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分)，则每名老党员需要支付的照片费为
A. 20.5元 B.21元 C.21.5元 D.22元
11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG。其中所有正确结论的编号是 A.① B.②③ C.①② D.①③ 12.函数f(x)?(x?3x)e?3x1在区间[－3，2)∪(2，3]上的零点个数为 x?2A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活。网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为 ▲
14.设a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边。已知asinA＝2bcosAcosC＋2ccosAcosB，则tanA＝ ▲
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x2y215.已知直线y＝a与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线交于点P，双曲线C在左、右顶点分别
ab为A1、A2，若PA2?5A1A2，则双曲线C的离心率为 ▲ 216.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3，若四棱锥P－ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为 ▲ ；当四棱锥P－ABCD的体积取得最大值时，二面角A－PC－D的正切值为 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(12分)
在公差为d的等差数列{an}中，a1d＝6，a?N，d?N，且a1>d。 (1)求{an}的通项公式；
?1?(2)若a1、a4、a13成等比数列，求数列??的前n项和Sn。
aa?nn?1?
18.(12分)
如图，在三棱锥ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰三角形，∠ACB＝
??，∠ABB1＝，且AB＝B1C。 23
(1)证明：CD⊥平面ABB1A；
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(2)求CD与平面A1BC所成角的正弦值。
19.(12分)
某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)。 (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90)内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：
50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90。从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差。
参考数据：若Y～N(?,?)，则P(????Y????)?0.6827，
2P(??2??Y???2?)?0.9545,P(??3??Y???3?)?0.9973
20.(12分)
x2y2已知椭圆C：2?2?1(a>b>0)的长轴长为22，焦距为2，抛物线M：y2＝2px(p>0)的准线经过C的
ab左焦点F。
(1)求C与M的方程；
(2)直线l经过C的上顶点且l与M交于P、Q两点，直线FP、PQ与M分别交于点D(异于点P)，E(异于点Q)，证明：直线DE的斜率为定值。
21.(12分) 已知函数f(x)?121x(2lnx?1)?ax(lnx?2)?x2。 42(1)讨论了f(x)的单调性；
(2)试问是否存在a?(??,e]，使得f(x)?3?若不存在，请说明理由。
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1a?sin对x?[1,??)恒成立？若存在，求a的取值范围；44
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