二、刚体的基本运动
刚体的基本运动形式有两种：①平行移动（平动）；②绕定轴转动（转动）。研究刚体的这两种基本运动形式，即可解决工程中的一些实际问题，同时为研究刚体复杂运动打下基础。
1．刚体的平动
刚体运动时，若体内任一直线始终保持与其初始位置平行，则这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。图所示为摆式筛砂机筛子AB的运动。 刚体平动时，如果体内各点的轨迹是直线称为直线平动；如果体内各点的轨迹是曲线称为曲线平动。
由此，可得如下结论：刚体平动时，其上所有各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此，刚体上任一点的运动就可以代表整个刚体的运动，即刚体的平动可以归结为一个点的运动来研究。
（2011，2014年真题）刚体作平动时，某瞬时体内各点的速度与加速度为()。 A.体内各点速度不相同，加速度相同 B.体内各点速度相同，加速度不相同 C.体内各点速度相同，加速度也相同 D.体内各点速度不相同，加速度也不相同
提示：刚体作平动时，某瞬时体内各点速度和加速度都相同，可以看作是一个点的运动。 答案：C.
2．定轴转动刚体上各点的速度和加速度
(1)刚体的定轴转动定义。刚体运动时，若其上有一条直线始终保持不动，则这种运动称为刚体的定轴转动，简称转动。而固定不动的直线称为刚体的转轴，它可以是刚体自身上的一条直线，也可以是其延伸部分的一条直线。门轴、电机的转子、机床的主轴、卷扬机的鼓轮、变速箱的齿轮和定滑轮等都是定轴转动物体的实例。
(2)转动方程。设有一刚体绕定轴z轴动，如图所示，为确定刚体在任一瞬时的位置，可通过转轴z作两个平面：平面I是固定不动的，平面II与刚体固连、随刚体一起转动。这样，任一瞬时刚体的位置，可以用动平面II与定平面I的夹角φ来确定。角φ称为转角，单位是弧度。它是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴的正向向负向看，逆时针方向为正，反之为负。当刚体转动时，转角φ随时间t变化，它是时间的单值连续函数，
即
式(4-27)称为刚体的转动方程，它反映了刚体绕定轴转动的规律，如果已知函数瞬时的位置就可以确定。
(3)角速度和角加速度。角速度ω表示刚体的快慢程度和转向，是代数量，计算式如下
角加速度α表示角速度随时间t的变化率，是代数量，计算式如下
当ω与α同号时，刚体做加速运动；当ω与α异号时，刚体做减速运动。
(4)绕定轴转动刚体上速度、加速度与角速度、角加速度的关系。点M速度的大小为
即某瞬时转动刚体内任一点的速度大小等于该点的转动半径与该瞬时刚体角速度的乘积，速度方向沿着圆周的切线方向，指向与刚体的转动方向相同。
M点的切向加速度和法向加速度分别为
，则刚体任一
由式(4-31)可知，转动刚体上任一点切向加速度的大小，等于该点的转动半径与该瞬时刚体角加速度的乘积，方向与转动半径垂直，指向与角加速度的转向一致；法向加速度的大小等于该点的转动半径与该瞬间刚体角速度平方的乘积，方向指向转动中心。
所以刚体上任-M点的全加速度为
式中θ——加速度与法向加速度夹角 （2012年真题）物体作定轴转动的运动方程为
径r=0.5m的一点，在t0=0时的速度和法向加速度的大小为()。
提示：
。此物体内，转动半
答案：A.
（2007年真题）圆轮上绕一细绳，绳端悬挂物块(见图)。物块的速度v、加速度a。圆轮与绳的直线段相切之点为P，该点速度与加速度的大小分别为()。
解：圆轮与绳的直线段相切之点P做圆周运动，P点的速度Vp与物块的速度相同，P点的加速度
，其中
答案：A
（2013年真题）二摩擦轮如图所示，则两轮的角速度与半径关系的表达式为( )。
与物块加速度相同，但aP显然大于a。
第9讲第四章 理论力学(七)
