第一讲有理数的巧算
趣题引路】
(第6届“希望杯\竞赛试题改编)计算：
2004 X 20032003+2005 X 20042004 一 2003 X 20042004 一 2004 X 20052005
解析 原式=2004 X 20032003 一 2003 X 20042004+2005 X 20042004一2004 X 20052005
=(2004 X 2003 X 10001-2003 X 2004 X 10001)+(2005 X 2004 X 10001- 2004 X 2005 X 10001) =0
点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl型式子，有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点 来进行考査，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。
知识延伸】 一、 巧用运算律
进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。
7
8
113 1 1
例 1 计算：(1)-1999- X 16： (2)(-一一一 +二一一)-(——)
6 36 4 12 48
解析⑴原式=-(2000-])><16
8
= -(3200-2) = -31998
(2)原式=一(一丄一丄 + 丄)><48=—(一8 — 已 +36—4)=一 22??
6 36 4 12 3 3
7 1
点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘
8 8
法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。
二、 有理数大小的比较
有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小：两个正数比较 大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运 用一些熟知的规律进行比较.
1991 QI log? 09
例2 (1992年\缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序
1992 92 1993 93
排列是 __________________________________ ?
a疋
11999999 1992(
1999911 92 ,
丄9292-93 1 1993(
< 2 3 929999 919'- 9 1 1 3 1 93(
一一93 < 921,, 9 < 9 ^911919 9 9 9 9 1 1 < 1
, < 92-9192丄9191-92 < 1 1 922 3 < > 91-92 一'92 而
一 931991 1991 91 91 1992 1992 92 92
点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也 是经常用到的方法?实际上，此类习题具有-般规律；弓<角⑴是正整数)，如！|<|斗…
0
三. 有理数巧算的几种特殊方法
有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求英中的规律, 往往可以为解题开辟新的途径.
1 ?倒序相加法
例 3 计算：(1)1+2 + 3 + ???+2003 + 2004：
(2)1 — 2 + 3—4+??? + 2003 — 2004?
解析(1)设S=l+2+3 + ??? + 2003+2004 则 S=2004+2003 +…+3+2+1 ①+②，得
②
①
2S=(l+2004)+(2+2003)+???+(2004+l) =2005 + 2005 +…+2005 (共 2004 个 2005)
c_ 2005 x 2004
3 ------------------ =2009010, =2005X2004,
即原式=2009010?
(2)原式=(1 一2)+(3—4)+??? + (2003 — 20Q4)
= -1-1 ------------- 1(共 1002 个一 1) = -1002.
点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项， 通常用“I表示；最后一项叫末项，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d表示。由上面的方法不难 得到.
等差数列的求和⑸)公式：s严曲曲;求项数⑷的公式：心丄空+1?
2
在以后的运算中，我们也可以直接应用这个公式解题.
d
(1) 式之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前而的数字与后而对应位垃的数字之和相等，倒过来 相加正好凑成一组相
同的数字。
(2) 式也可以将它看成两组等差数列之和的差，但是题目本身有更突出的特点：从左到右每两个数字结 合起来正好都等于
一 1.这就说明，在我们动手做题之前，要仔细研究题目本身的特点，选择一种最佳的方 法.
2 ?错位相减法
例4计算：5+52+5$+…+5”? 解析设S=5 + 52+53+??? + 5S① 贝 ij 5S=5?+53+…② ②一①，得 4S=5\— 5,
一 57
4
，
亍利_ 5
即原式=——?
4
点评:本题显然不是一个等差数列求和的问题，怎么求和呢？这就需要我们去探索?为达到抵消中间一 些数的目的，采取两边乘以5再做减法，达到目的。
结合例3的点评，通过本题的特点你能总结出什么规律？
0
3 ?裂项法。
例5（1993年“祖冲之杯”邀请赛试题）计算「+占+ ￡ + -?- +
解析原式门+硝冷）+ 2（卜扣…+ 2怙一命）
1 + 2 ------ F100
200
而
点评：由1+2 +…+10 0想到等差数列求和公式：S肿上理，所以= ?又由
2 S” （\\ + n）n
丄-丄—想到-丄
n n + \\
/?(/?+ 1) n(n +1) n n + \\
4 ?设元法
在有理数的运算以及苴他代数式的运算中，我们常常把式中岀现的相同部分用字母表示，从而使问题 简化。 例 6 计算：(— + — + — + — + — + —)(—+ — + — + — + — + —)-
31 37 41 47 53 69 29 31 37 41 47 53
z 1 1 1 1 1 1 1 x/ 1 1 1 1 1、
(—+ — + — + — + — + — +—)(— + — + — + — + —). 29 31 37 41 47 53 69 31 37 41 47 53
心 1
1 1 1 1 29 31 37 41 47 53 69 69
69
1 1
11111
31 37 41 47 53
mil
原式=(川 + —)(??? - —) - mn
=mn + — （m 一 n） - mn -—-
69 692
=丄（丄+丄）- - -
69 69 29
692
69x29 一 2001
点评:对于式子中结构相同的部分我们通常可以用字母来表示，从而起到简化运算的作用」
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5 ?数形结合法
例7计算当”无限大时，叫+
的值.
=1,故原式=2.
好题妙解】 佳题新题品味
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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲有理数的巧算
