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第1章 线性空间和线性变换（详解）
1-1 证：用E表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素
ii为1外，其余元素全为0的矩阵.用
Eij(i?j,i?1,2,,n?1)表示n阶矩阵中除第i行，第j列
元素与第j行第i列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.
显然，E，E都是对称矩阵，E有n(n?1)个.
iiijii2不难证明E，E是线性无关的，且任何一个对称矩阵
iiij都可用这n+n(n?1)=n(n?1)个矩阵线性表示，此即对称矩
22阵组成n(n?1)维线性空间.
2同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空
间的维数为n(n?1).
2评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个n(n?1)维线性空间，只需找出n(n?1)个向量线性无
22关，并且集合中任何一个向量都可以用这n(n?1)个向量
2线性表示即可.
1-2解: 令??x?123411?x2?2?x3?3?x4?4
解出x,x,x,x即可.
1-3 解：方法一 设A?xE11?x2E2?x3E3?x4E4
即
??12??11??11??11??10? ?x?x?x?x1?2?3?4???????03??11??10??00??00?__________________________________________________
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故
??12?????x1?x2?x3?x4x1?x2?x3??03??x1?x2x? 1?于是
x1?x2?x3?x4?1,x1?x2?x3?2
x1?x2?0,x1?3
解之得
x1?3,x2??3,x3?2,x4??1
即A在E,E2,E3,E4下的坐标为(3,?3,2,?1)T1.
方法二 应用同构的概念，R2?2是一个四维空间，且可将矩阵A看做(1,2,0,3)T，
ET1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0),(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有
??11111??0003??11102??10100?3???11000????0102?? ?10003????0?0001?1??因此A在ET1,E2,E3,E4下的坐标为(3,?3,2,?1).
1-4 解：证：设k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0
即
k??11??11???k?11??2??01???k11??10?13??10???k4??11?????k1?k2?k3?k4k1?k
2?k3??k?k?13?k4k?k?01?k24?于是
k1?k2?k3?k4?0,k1?k2?k3?0 k1?k3?k4?0,k1?k2?k4?0
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并
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解之得
k1?k2?k3?k4?0
故α1,α2,α3,α4线性无关. 设
?ab??11??11??11??10??x?x?x?x?cd?1?11?2?01?3?10?4?11???????????
?x1?x2?x3?x4x1?x2?x3???x1?x2?x4??x1?x3?x4?于是
x1?x2?x3?x4?0,x1?x2?x3?0 x1?x3?x4?0,x1?x2?x4?0
解之得
x1?b?c?d?2a,x2?a?c
x3?a?d,x4?a?b
x1,x2,x3,x4即为所求坐标.
1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）
?1???323?0?p(x)?1?2x???1,x,x,x???0????2??y1??y?23?2????1,x?1,(x?1),(x?1)???y?3???y4?又由于
23??1,x?1,(x?1),(x?1)???111?1?223?0???1,x,x,x???001??000
1? 3???3??1?于是p(x)在基1,x?1,(x?1),(x?1)下的坐标为
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《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
