?y???联立直线DM和抛物线的解析式成方程组,得:??y???11?x?y???22 或?123?y?x?x?2?22?17x?22,
123x?x?222?x1?2?7?x2?2?7?x3?1?x4?3??解得:? ,, ,, ???1?71?7y??2y??3?4?3?y1??y2??2?2∴点D的坐标为(2﹣7 ,2).
1+71-7 ),(2+7 ,),(1,﹣3)或(3,﹣
22(3)分两种情况考虑,如图2所示.
①当点E与点O重合时,过点O作OF1⊥BC于点F1,则△COF1∽△ABC, 设直线AC的解析设为y=mx+n(m≠0), 将A(﹣1,0),C(0,﹣2)代入y=mx+n,得:
?-m?n?0?m??2 ,解得:? , ??n??2?n??2∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2. ∵AC⊥BC,OF1⊥BC,
∴直线OF1的解析式为y=﹣2x.
?y??2x?连接直线OF1和直线BC的解析式成方程组,得:? , 1y?x?2??24?x???5解得:? ,
8?y??5?∴点F1的坐标为(
48 ,﹣ );
55②当点E不和点O重合时,在线段AB上取点E,使得EB=EC,过点E作EF2⊥BC于点F2,过点E作EF3⊥CE,交直线BC于点F3,则△CEF2∽△BAC∽△CF3E. ∵EC=EB,EF2⊥BC于点F2, ∴点F2为线段BC的中点, ∴点F2的坐标为(2,﹣1); ∵BC=25 , ∴CF2=
11155 BC=5 ,EF2= CF2= ,F2F3= EF2= , 2222455 . 4∴CF3=
设点F3的坐标为(x,
1 x﹣2), 2∵CF3=∴x+[
2
55,点C的坐标为(0,﹣2), 411252
x﹣2﹣(﹣2)]=,
16255 (舍去),x2=, 22解得:x1=﹣
∴点F3的坐标为(
35,﹣ ). 244 ,﹣5综上所述:存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,点F的坐标为(
385 ),(2,﹣1)或( ,﹣ ). 524
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式;(3)分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况,利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标.
22.(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)连接OD,由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD,根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO,求得∠CAD=∠ADO,根据平行线的性质得到CD⊥OD,于是得到结
论;
(2)连接BD,根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°,根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】
解:证明:(1)连接OD, ∵AD平分?BAC, ∴?CAD??BAD, ∵OA?OD, ∴∠BAD?∠ADO, ∴?CAD??ADO, ∴AC∥OD, ∵CD?AC, ∴CD?OD,
∴直线CD是⊙O的切线; (2)连接BD,
∵BE是⊙O的切线,AB为⊙O的直径, ∴?ABE??BDE?90?, ∵CD?AC, ∴?C??BDE?90?, ∵?CAD??BAE??DBE, ∴?ACD∽?BDE,
CDAD?, DEBE∴CD?BE?AD?DE.
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,角平分线的定义.圆周角定理,切线的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键. 23.(1)y=?x40)?26x(20剟;(2)该经销商应购进草鱼25千克,乌鱼50千克,才能
?24x(x?40)使进货费用最低,最低费用为1400元. 【解析】
【分析】 【详解】
(1)批发购进乌鱼所需总金额y(元)与进货量x(千克)之间的函数关系式
x40)?26x(20剟y=?;
24x(x?40)?(2)设该经销商购进乌鱼x千克,则购进草鱼(75﹣x)千克,所需进货费用为w元. 由题意得:??x?40
93%?75?89%?(75?x)?95%x…解得x≥50.
由题意得w=8(75﹣x)+24x=16x+600. ∵16>0,∴w的值随x的增大而增大. ∴当x=50时,75﹣x=25,W最小=1400(元).
答:该经销商应购进草鱼25千克,乌鱼50千克,才能使进货费用最低,最低费用为1400元.
24.(1)该旅行团中成人17人,少年5人;(2)①1320元,②最多可以安排成人和少年共12人带队,有三个方案:成人10人,少年2人;成人11人,少年1人;成人9人,少年3人;其中当成人10人,少年2人时购票费用最少. 【解析】 【分析】
(1)设该旅行团中成人x人,少年y人,根据儿童10人,成人比少年多12人列出方程组求解即可;
(2)①根据一名成人可以免费携带一名儿童以及少年8折,儿童6折直接列式计算即可; ②分情况讨论,分别求出在a的不同取值范围内b的最大值,得到符合题意的方案,并计算出所需费用,比较即可. 【详解】
解:(1)设该旅行团中成人x人,少年y人,根据题意,得
?x?y?10?32?x?17. ,解得??x?y?12y?5??答:该旅行团中成人17人,少年5人. (2)∵①成人8人可免费带8名儿童,
∴所需门票的总费用为:100?8?100?0.8?5?100?0.6??10?8?=1320(元).
a17,1剟b5. ②设可以安排成人a人、少年b人带队,则1剟a17时, 当10剟(ⅰ)当a?10时,100?10?80b?1200,∴b?∴b最大值?2,此时a?b?12,费用为1160元. (ⅱ)当a?11时,100?11?80b?1200,∴b?5, 25, 4∴b最大值?1,此时a?b?12,费用为1180元.
12时,100a…1200,即成人门票至少需要1200元,不合题意,舍去. (ⅲ)当a…当1?a?10时,
(ⅰ)当a?9时,100?9?80b?60?1200,∴b≤3, ∴b最大值?3,此时a?b?12,费用为1200元.
(ⅱ)当a?8时,100?8?80b?60?1200,∴b≤, ∴b最大值?3,此时a?b?11?12,不合题意,舍去. (ⅲ)同理,当a?8时,a?b?12,不合题意,舍去.
综上所述,最多可以安排成人和少年共12人带队,有三个方案:成人10人,少年2人;成人11人,少年1人;成人9人,少年3人;其中当成人10人,少年2人时购票费用最少. 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用,不等式的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系与不等关系,列出方程组与不等式组. 25.(1)?3a2?5ab?3b2;(2)【解析】 【分析】
72m. m?2?1?根据多项式乘多项式、完全平方公式展开,然后再合并同类项即可; ?2?括号内先通分进行分式的减法运算,然后再进行分式的除法运算即可.
【详解】
?1??a?b??a?2b??(2a?b)2
=a2?2ab?ab?2b2?4a2?4ab?b2
??3a2?5ab?3b2;
1?m2?4m?4?(2)?1? ??2m?1m?m??=
m?2m?m?1??2 m?1(m?2)m. m?2【点睛】 ?本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算,熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.
2019-2020中考数学试卷及答案
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