2024年高三质量检测
数学(理科)
本试卷共23题，共6页。全卷满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：
1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝x?3}，A∩B＝ A.[1，＋∞) B.[1，3] C.(3，5] D.[3，5] 2.若复数z满足z(i－1)＝2i(i为虚数单位)，则z为 A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i
3.已知平面向量a＝(2，3)，b＝(x，4)，若a⊥(a－b)，则x＝ A.
1 B.1 C.2 D.3 24.数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为 A.中位数为7，标准差为2 B.中位数为7，标准差为4 C.中位数为7.5，标准差为4 D.中位数为7.5，标准差为2
5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分不必要条件是 A.m⊥α，m⊥β B.m?α，n?β，m⊥n C.m⊥β，m//α D.m//n，m⊥α，n⊥β
1112024
?6.已知a＝log2024，b＝()，c?2024，则
??
- 1 -
A.c 7.已知等比数列{an}中，行a5＋a7＝8，则a4(a6＋2a8)＋a3a11的值为 A.8 B.16 C.64 D.128 8.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(－1，2)，N(1，0)，动点P满足PM?ON?PN，则动点P的轨迹方程是 A.y2＝4x B.x2＝4y C.y2＝－4x D.x2＝－4y 9.函数f(x)＝(2?1)sinx图象的大致形状是 x1?e 10.己知函数f(x)＝2(|cosx|＋cosx)·sinx，给出下列四个命题： ①f(x)的最小正周期为π ②f(x)的图象关于直线x＝③f(x)在区间[－ ?对称 4??，]上单调递增 ④f(x)的值域为[－2，2] 44其中所有正确的编号是 A.②④ B.③④ C.①③④ D.②③ 11.圆 C：x2＋y2－10x＋16＝0 x2y2上有且仅有两点到双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近 ab线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是 A.( 55552，) B.(2、5) C.(，) D.(5，2＋1) 242212.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且恒有f[f(x)－lnx]＝l，若?x>0，f(x)≤ax－1，则a的最小值为 A.0 B. 1 C.1 D.e e第II卷 - 2 - 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上。 13.某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]。据此绘制了如图所示的频率分布直方图。据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为 (60分以上为及格)，这200名学生中成绩在[80，90)中的学生有 名。 14.若f(x)＋2f( 11)＝2x＋对任意非零实数x恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方xx程为 。 15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的最小一份的量为 。 16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝4，E为AD中点，则三棱锥A1－CDE外接球的表面积为 。 1是较小的两份之和，则7 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分12分) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，且(I)求角C的大小； (II)若c＝3，求a＋b的取值范围。 18.(本题满分12分) 学校开设了射击选修课，规定向A，B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分； sinC?sinAb?。 sinB?sinAa?c- 3 - 小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为 43，向B靶射击，命中的概率为，假设54小明同学每次射击的结果相互独立。现对小明同学进行以上三次射击的考核。 (I)求小明同学恰好命中一次的概率； (II)求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E(X)。 19.(本题满分12分) 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE。 (I)证明：AF⊥平面A1BC； (II)求二面角B－A1E－B1余弦值的大小。 20.(本题满分12分) x2y22已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的焦距为2，过点(－1，)。 2ab(I)求椭圆C的标准方程； (II)设椭圆的右焦点为F，定点P(2，0)，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线x＝2的另一个交点为Q，试探究在x轴上是否存在一定点M，使直线BQ恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由。 21.(本题满分12分) 已知函数f(x)＝x(a－lnx)，g(x)＝x2＋ex。 (I)讨论f(x)在(，＋∞)上的单调性： (II)设h(x)＝f(x)－g(x)，若h(x)的最大值为0，求a的值。 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22.(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 － - 4 - 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为???x?3?2cos?(α为参数)，直线C2的方 ??y?2?2sin?程为y＝ 3x，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 3(I)求曲线C1的极坐标方程； (II)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值。 23.(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－m|－|2x＋2m|(m>0)。 (I)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集； (II)若?x∈R，?t∈R，使得f(x)＋|t－1|<|t＋1|，求实数m的取值范围。 - 5 -
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