群表示论qunbiaoshilun群表示论grouprepresentationtheory用具体的线性群（矩阵群）来描述群的理论，是研究群的最有力的工具之一。在19世纪末和20世纪初它由F.G.弗罗贝尼乌斯和W.伯恩赛德独立开创，而弗罗贝尼乌斯的工作则由I.舒尔所改善和简化。下面只论及有限群表示论。设是有限群，是复数域上的有限维向量空间，L（）是上全体可逆线性变换所组成的群。从映入L()的一个同态[550-03]称为[2kg]的一个表示，而称为的表,则称是（关于）示空间。设是的一个子空间，若[550-17]的一个不变子空间，这时()在上的限制就给出的一个表示[550-04]如果没有非零真不变子空间，就说[2kg][2kg]是不可约表示空间，而称为的不可约表示；否则就说和是可约的。如果有不可约不变子空间V1,[2kg]2,[2kg]…,[2kg]=1…，就说是完全可约的。这时,若[550-24]使是它们的直和即[550-18]，的则记[550-19],并说分解成不可约表示[2kg]1,2,…，和。有限群表示论的一个重要结果即马施克定理：有限群的任一表示都是完全可约的。因此，研究有限群的表示只要研究它的不可约表示就够了。设:→GL()是有限群的一个表示如果选的一个基1,2…,,并令[550-05][550-20]的,[kg2][kg2],就是从映入的两个基，则有可那么映射(C)的同态，称为与相应分别相应矩阵表示逆矩阵使的矩阵表示。设相应于[550-06][550-07]时就说这两个矩阵表示是等价的。设1和2是有限群映[550-21]射[550-25]。（实际上是的两个基的转换矩阵），这的两个表示，表示空间分别是1和:,1→1[kg2]2，如果有可逆线性2[kg2]使1，[kg2][kg2]，就说1和2是等价的。显然，两个表示等价，当且仅当它们相应的矩阵表示是等价的。等价的表示并不视为有什么本质区别。设是有限群的子群,1,2,…,是在中一左陪集代表系，是的一个表示。那么，对每个[kg2]规定：[550-08],式中[550-09]谓的诱导表示。设和是的两个表示，规定[550-10]其中()示与()是矩阵()和()的克罗内克乘积，的张量积。所谓×矩阵[550-26]是的一个表示，即所，也是的一个表示，即表和×矩阵[550-27]的克罗内克乘积(张量积),是指[550-28]它是一个×矩阵。例如，当＝2，＝3时，[550-12]设[551-16]：→L()是有限群,[551-13]的一个表示。令,则是定义在上的函数显称为表示的特征标当[551-17]然它在的共轭类上取相同的值,因此是的类函数,不可约时,称为不可约特征标特征标实际上确定了表示,可以证明，两个表示等价,当且仅当它们的特征标相等。利用特征标还可以证明,只有有限个不同的不可约特征标,其个数恰好等于的共轭类的个数。因此研究有限群的不可约特征标是有重要意义的。关于不可约特征标有所谓正交关系，即设1,2,…,是的不同的不可约特征标，1,2,…,是的所有的不同的共轭类中的代表元,而1,2,…,是这些共轭类中元素个数，则有[551-1],[551-2],式中为克罗内克符号。诱导表示的特征标称为诱导特征标。表示的张量积的特征标是相应特征标的乘积。诱导特征标及与其有关的弗罗贝尼乌斯互反律和特征标乘积的分解，是表示论的主要工具。所谓弗罗贝尼乌斯互反律，即若与分别为[2kg]与的不可约表示,则在示(即[2kg][2kg]限制到上)的完全分解中出现的重数等于在诱导表的完全分解中出现的重数。对任意域亦可象对复数域那样定义表示空间、表示及特征标等。若的特征不整除有限群的阶，则仍然有表示的完全可约性,如果同时还是代数封闭的,那么用代替，以上的讨论成立。以记有限群的所有元素的阶的最小公倍数。H.马施克于1898年曾猜想的所有不可约表示皆可在[2kg][2kg]次分圆域()(为[2kg]次本原单位根)中实现,即如果是的一个(在复数域上的)不可约特征标，那么存在一个矩阵表示[551-14]标即。R.（D.）布饶尔在1945年证明了这个猜想。将群表示论应用于有限群的研究，最早的最著名的结果是伯恩赛德定理：阶为的群是可解群，这里、是相异素数,、是非负整数。近年来这个定理虽已有了抽象群论的证明，但不如用表示论的原证简捷。20世纪20年代，E.诺特强调了“模”这一代数结构的重要性,她把有限群[2kg]的表示：→L()的表示空间看成一个双模，即除了域的元素作为算子（即到的自同态）外，还容许群环[]的元素[551-3][551-15][551-4]1,2,…,是的全部元素）作为算子：,并且适合条件[551-40],其特征[551-5][551-6]的模。反之，给定一个有限维[]的模，显然每个[kg2][kg2]在上引起一个可逆线性变换，由此得到[2kg]的一个表示。对于[]的模，可以与上文完全平行地定义可约性、不可约性及完全可约性。一个[]的模是可约的或不可约的或完全可约的,当且仅当的相应的表示是可约的或不可约的或完全可约的。所谓一个代数是半单的,是指所有的模都是完全可约的因此群代数[]是半单的。这样，E.诺特就将代数结构论和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展。近50年来，布饶尔将群表示论的研究大为深化，他引进了模表示论，研究了群阶除尽域的特征的域上的表示,以及模表示与常表示（即上的表示）的关系，而群表示论在有限群结构理论中起着日益重要的作用。在这方面的第一个重要结果是费特－汤姆森证明了有长期历史的伯恩赛德猜想：奇数阶群都是可解群。近年来则导致了有限单群分类问题的解决。（见有限单群）有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典的傅里叶分析。群表示论在理论物理和量子力学中有重要的应用。参考书目C.W.CurtisandI.Reiner，RepresentationTheoryofFiniteGroupsandAssociativeAlebras,JohnWileyandSons,NewYork,1962.I.M.Issacs,CharacterTheoryofFiniteGroups,AcademicPress,NewYork,1976.W.Feit，RepresentationofFiniteGroups,North-Holland,Amsterdam,1982.万哲先
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